Calculul valorilor si vectorilor proprii

390 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
✻y 3 ❆ ✻
P 2 y ❆❆❆❆❆❆❆❆
❍
❍ IR m IR n
❍
❍
KerA
P 3 x
❍
❍ ❩
y
❍
u 3 ❆❑
❆
❩6
✂
v ❩ ❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩❩ 1
x
❍
❩
❆
y
✲
❩✓ ✓✓✼
1
x
✲ 1
❆ ✟✂ ✂✂✂✂✂✍ ✂
v
✓
2
✟
✟
✟✟✟✟✟✟✯ ✂
❍ ❍❍❥
✟
✟
0 ❍❍❍❍❍❍❍❍ ❍❍❍❍❥ u
✂ 1
0
❆ ✂
✓ ✓✓✓✓✓✓✓✓ ✓ ✓✓✓✓✼ ✓
✑ ✑✑✑✑✸❩ ✓
❩ ✓ ❩7 ✓
✟
✟ ❆ ✠ u 2
✂
P 4 x
✟✙ ❆ P 1 y ImA
y 2
❆
ImA T
❆
KerA T
✓ ✓✓✓
❆
❆
x 2
Fig. 5.3: Subspaţii liniare şi proiecţii ortogonale
(Precizăm că, în majoritatea aplicaţiilor, proiectorii sunt utilizaţi în forma factorizată
din (5.61).)
În figura 5.3 sunt prezentate acţiunile acestor proiectori ortogonali asupra a doi
vectori arbitrari y şi x din IR 3 şi, respectiv, IR 2 .
✸
5.2.7 Operaţii cu subspaţii liniare
În aplicaţiile cu suport geometricaparede multe ori necesitateade a calculasubspaţii
liniare derivate din subspaţii existente cu ajutorul operaţiilor uzuale. Natural,
DVS poate fi de un real folos în astfel de situaţii. În continuare, vom considera
că subspaţiile date aparţin spaţiului liniar IC m 16 şi sunt cunoscute prin baze (nu
neapărat ortogonale) ale acestora, iar vectorii din baze se scriu sub forma unor
coloane de matrice omonime, i.e. X = ImX, Y = ImY 17 etc. Subspaţiile rezultat
vor fi calculate prin determinarea unor baze ortogonale ale acestora. Aşa cum s-a
mai precizat, aspectele numerice legate de utilizarea calculului aproximativ vor fi
discutate într-o altă secţiune a acestui capitol aici admiţând ipoteza posibilităţii
unui calcul exact.
A. Incluziune şi egalitate. Fie X = ImX şi Y = ImY două subspaţii liniare
din IC n cu dimX ≤ dimY. Este uşor de văzut că incluziunea X ⊆ Y are loc dacă şi
numai dacă
rangY = rang[X Y ] (5.62)
şi, prin urmare incluziunea poate fi testată pe această bază calculând DVS a matricelor
Y şi [X Y ]. O cale alternativă, mai economică, se bazează pe faptul că
16 Pentru subspaţii din IR m se procedează absolut similar.
17 Matricele X, Y nu sunt neapărat monice, i.e. pe lângă vectorii din bază pot conţine drept
coloane şi combinaţii liniare ale acestora.