Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 389
i.e. z ∈ S ∩S ⊥ = {0}. Deci z = 0 sau y = Py, i.e. y ∈ ImP. Prin urmare rezultă
S ⊂ ImP şi, datorită incluziunii precedente, ImP = S.
✸
Conform acestei teoreme, pentru toate matricele V ∈ IC n×k ale căror coloane
formează baze ortogonale ale aceluiaşi subspaţiu, matricele VV H sunt aceleaşi.
Proiectorul ortogonal pe IC n este P = I n . Proiectorul ortogonal pe un subspaţiu
unidimensional S = Imv, unde v este un vector nenul din IC n , este P = vvH
v H v .
Fie A ∈ IC m×n , A = UΣV H şi subspaţiile fundamentale ImA,KerA H din IC m ,
ImA H ,KerA din IC n . Aşa cum am văzut în paragraful precedent, coloanele matricelor
U şi V formează baze ortogonale pentru toate aceste subspaţii. Utilizând
notaţiile(5.13)şirelaţiile(5.56), (5.57), (5.59)obţinem pentru proiectoriiortogonali
pe cele patru subspaţii menţionate următoarele expresii
P 1 = U 1 U1 H = AA + −proiector ortogonal pe ImA,
P 2 = U 2 U2 H = I m −AA + −proiector ortogonal pe KerA H ,
P 3 = V 1 V1 H = A + A −proiector ortogonal pe ImA H ,
P 4 = V 2 V2 H = I n −A + A −proiector ortogonal pe KerA,
(5.61)
unde A + este pseudoinversa matricei A. Demonstrarea egalităţilor secunde din
expresiile de mai sus se propune ca exerciţiu pentru cititor.
Exemplul 5.2 Considerăm matricea
⎡ ⎤
0.9600 1.2800
A = ⎣ 0.6912 0.9216 ⎦
0.2016 0.2688
care admite o DVS A = UΣV T definită de
⎡
⎤ ⎡
0.8000 −0.3600 −0.4800
U = ⎣ 0.5760 0.6848 0.4464 ⎦, Σ = ⎣ 2 0 ⎤
]
0.6000 −0.8000
0 0 ⎦, V =[
0.8000 0.6000
0.1680 −0.6336 0.7552 0 0
şi are, evident, valorile singulare σ(A) = {2,0}. Notând cu u j = U(:,j), j =
= 1:3, şi v j = V(:,j), j = 1:2, coloanele matricelor U şi, respectiv, V cele patru
subspaţii definite cu ajutorul matricei A sunt (vezi fig. 5.3) ImA = Imu 1 , KerA T =
= Im[u 2 u 3 ], din IR 3 , respectiv ImA T = Imv 1 , KerA = Imv 2 , din IR 2 . Cei patru
proiectori ortogonali sunt
⎡
P 1 = u 1 u T 1 = ⎣
P 2 = [u 2 u 3 ][ u
T
2
u T 3
P 3 = v 1 v T 1 = [ 0.3600 0.4800
0.4800 0.6400
⎡
]
= ⎣
0.6400 0.4608 0.1344
0.4608 0.3318 0.0968
0.1344 0.0968 0.0282
⎤
⎦,
0.3600 −0.4608 −0.1344
−0.4608 0.6682 −0.0968
−0.1344 −0.0968 0.9718
]
, P 4 = v 2 v T 2 = [
⎤
⎦,
0.6400 −0.4800
−0.4800 0.3600
]
.