Calculul valorilor si vectorilor proprii

354 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
şi distanţa relativă prin
gaprel(A,B) def |λ i −µ j |
= min
i=1:m |λ i +µ j | . (4.356)
j=1:n
Proprietatea evidenţiată în cazul particular de mai sus se generalizează în mod
naturalşijustificăutilizareaparametruluisep(A,B)camăsurăaseparăriispectrelor
matricelor A şi B. În cazul general se pot face următoarele afirmaţii:
• sep(A,B) = 0 dacă şi numai dacă matricele A şi B au cel puţin o valoare
proprie comună;
• sep(A,B) este ”mică” dacă şi numai dacă există o perturbare ”mică” a uneia
dintrematricecarefacecaceledouămatricesăaibecel puţin ovaloareproprie
comună;
• dacămatriceleAşiB sunthermitice(încazulreal,simetrice),atuncisepararea
coincide cu distanţa dintre spectre, i.e. sep(A,B) = gap(A,B);
• dacă matricele A şi B nu sunt hermitice (în cazul real, simetrice), atunci
sep(A,B) < gap(A,B) şi chiar poate fi mult inferioară lui gap(A,B);
În pachetele profesionale de calcul numeric există proceduri de estimare rapidă 60
a separării spectrelor.
Revenind la problema condiţionării vectorilor proprii ai unei matrice A ∈ IC n×n
şi a subspaţiilor sale invariante, precizăm că, la fel ca în cazul valorilor proprii,
aceasta nu este afectată de transformări unitare de asemănare. Prin urmare, fără
a reduce generalitatea, putem considera matricea iniţială direct în formă Schur,
eventual ordonată în mod convenabil. Fie, aşadar, mulţimea de indici I ∈ 1:n şi
setul λ I ⊂ λ(A) al valorilor proprii de interes. Considerăm matricea
[ ]
S = Q H S11 S
AQ = 12
∈ IC n×n , cu S
0 S 11 ∈ IC q×q , λ(S 11 ) = λ I (4.357)
22
şi X I = ImQ(:,1 : q) subspaţiul A-invariant asociat setului de valori proprii λ I .
Vom nota separarea spectrelor matricelor S 11 şi S 22 cu
sep(S 11 ,S 22 ) not
= sep I .
Condiţionarea subspaţiului invariant X I , i.e. variaţia unghiulară a acestuia raportată
la nivelul perturbaţiilor în matricea iniţială, se poate aprecia prin numărul
de condiţionare
def
κ XI = 1 . (4.358)
sep I
60 Variantele rapide se obţin de obicei prin utilizarea unor norme matriceale care se calculează
mai uşor (cum sunt ‖ · ‖ 1 sau ‖ ·‖ ∞). În acest fel se obţin estimări care diferă de valoarea reală
printr-un factor cel mult egal cu √ mn, perfect acceptabil în practica numerică.