Calculul valorilor si vectorilor proprii

400 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
matricea U 1 poate fi o rotaţie (complexă) P 12 = diag(˜P 12 ,I m−2 ) astfel încât
[ ]
˜P 12w H ∗
= . (5.86)
0
3. Calculul matricei T ← C = P H 12 TP 12, care altera structura tridiagonală în
poziţiile (3,1) şi (1,3), se transferă în calculul matricei
K = JP 12 (5.87)
care evidenţiază o alterare a matricei superior bidiagonale în poziţia (2,1).
4. Aplicarea algoritmului TQ matricei C, pentru refacerea structurii tridiagonale
a matricei C se transferă, în cadrul unui pas DVS, în aplicarea unui algoritm
JQ adaptat pentru refacereastructurii superior bidiagonalea matricei J prin transformări
unitare bilaterale
J ← J ′ = U H n−1U H n−2···U H 1 KV 2···V n−1 , (5.88)
unde U k , V k pot fi rotaţii (complexe) sau reflectori (complecşi). Schema de calcul
este următoarea.
1. Pentru k = 1 : n−1
def
1. Se calculează rotaţia U k = P k,k+1 astfel încât
(Uk H K)(k +1,k) = 0
2. K ← Uk H K % Se anulează elementul (k +1,k) şi
% se alterează zeroul din poziţia (k,k +2)
3. Dacă k < n−1
def
1. Se calculează rotaţia V k+1 = P k+1,k+2 astfel încât
(KV k+1 )(k,k +2) = 0.
2. K ← KV k+1 % Se anulează elementul (k,k +2) şi
% se alterează zeroul din poziţia (k +2,k +1)
Pentru a exemplifica adaptarea algoritmului JQ la situaţia structurală caracteristică
unei iteraţii DVS cu deplasare implicită, considerăm cazul dimensional
m = 5, n = 3. Ca şi până acum, încadrările indică liniile sau coloanele afectate,
” + ” zerourile alterate, iar ”∅” elementele anulate, toate referindu-se la transformarea
curentă.
⎡
J =
⎢
⎣
⎡
J ← U1 H J = ⎢
⎣
× × 0
0 × ×
0 0 ×
0 0 0
0 0 0
× × +
∅ × ×
0 0 ×
0 0 0
0 0 0
⎤
⎡
⎥
⎦ , J ← JP 12 =
⎢
⎣
⎤
⎡
, J ← JV 2 =
⎥ ⎢
⎦ ⎣
× ×
+ ×
0 0
0 0
0 0
×
0
0
0
0
0
×
×
0
0
× ∅
× ×
+ ×
0 0
0 0
⎤
,
⎥
⎦
⎤
,
⎥
⎦