Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 317
Notând
obţinem
= T (k)
33 − ūūT
β T(k)
33 −T(k) 33
ūū T
β + ūūT T (k)
33 ūūT
β 2 . (4.274)
v = T(k) 33 ū ∈ IR n−k (4.275)
β
T (k+1)
33 = T (k)
33 −ūvT −vū T +ūūT vū T
β
Introducând acum notaţia
(4.276) devine
= T (k)
33 −ū(vT −ūT v
2β ūT )−(v−ūT v
2β ū)ūT . (4.276)
w = v − ūT v ū, (4.277)
2β
T (k+1)
33 = T (k)
33 −ūwT −wū T , (4.278)
relaţie care, împreunăcu (4.275)şi (4.277), va fi folosităpentru calculul triunghiului
inferior al matricei A(k +1 : n,k +1 : n) ←− T (k+1) (k)
33 = Ūk+1T 33 Ūk+1.
Forma tridiagonală simetrică obţinută constituie punctul de plecare pentru diverse
tehnici iterative de calcul a valorilor proprii. De aceea, în cele ce urmează,
vom considera că matricea tridiagonală A ← T = T T ∈ IR n×n este memorată numai
prin elementele sale semnificative, date de componentele vectorilor f ∈ IR n şi
g ∈ IR n−1 conform scrierii
⎡
A ← T =
⎢
⎣
⎤
f 1 g 1 0 ··· 0 0
g 1 f 2 g 2 ··· 0 0
.
0 g 2 f .. 3 0 0
.
. . .. . .. . .. .
. ⎥
0 0 0 .. fn−1 g n−1
⎦
0 0 0 0 g n−1 f n
Aplicarea ideilor menţionate mai sus conduce la următorul algoritm.
. (4.279)
Algoritmul 4.24 (TQ– Reducerea la forma tridiagonală)
(Date matricea simetrică A ∈ IR n×n şi matricea de transformare iniţială
Q ∈ IR n×n , algoritmul calculează secvenţa de reflectori U 2 ,U 3 ,···,U n−1
astfelîncâtmatriceaA ← T = U n−1···U 3 U 2 AU 2 U 3···U n−1 areostructură
tridiagonală. Se consideră că A este dată numai prin triunghiul său
inferior în care sunt efectuate calculele curente. Algoritmul extrage vectorii
f ∈ IR n şi g ∈ IR n−1 , conform (4.279), care definesc matricea
tridiagonală rezultată. Opţional se actualizează matricea de transformare
Q ← QU 2 U 3···U n−1 . Opţiunea se exprimă prin intermediul unei
variabile logice opt, de tipul şir de caractere, care poate lua valorile
’da’ sau ’nu’. Dacă nu se doreşte actualizarea, matricea Q rămâne
nemodificată.)