Calculul valorilor si vectorilor proprii

298 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
având în vedere structura superior triunghiulară a matricelor S şi T ecuaţia (4.207)
se poate scrie ”pe coloane” sub forma
Sy j −Yt j = ˜c j , j = 1 : n, (4.208)
unde y j = Ye j , t j = Te j = [t 1j t 2j ... t jj 0 ... 0] T şi ˜c j = ˜Ce j . Prin urmare,
ecuaţiile (4.208) devin
Sy j −
j∑
t kj y k = ˜c j , j = 1 : n, (4.209)
k=1
care se scriu sub forma matriceală 41
⎡
⎤⎡
⎤ ⎡
S−t 11 I m 0 ··· 0 y 1
−t 12 I m S−t 22 I m 0 0
y 2
⎢ . .
⎣
.
. . ..
. ⎥⎢
. ⎥
. ⎦⎣
. ⎦ = ⎢
⎣
−t 1n I m −t 2n I m ··· S−t nn I m y n
⎤
˜c 1
˜c 2..
⎥
˜c n
⎦ . (4.210)
Acest sistem admite o soluţie unică dacă şi numai dacă matricea sistemului este
nesingulară, i.e. dacă şi numai dacă matricele S−t jj I m , j = 1 : n, sunt nesingulare,
respectiv
s ii −t jj ≠ 0, i = 1 : m, j = 1 : n. (4.211)
Având în vedere faptul că λ(A) = {s 11 ,s 22 ,...,s mm } şi λ(B) = {t 11 ,t 22 ,...,t nn }
condiţia(4.211)esteechivalentăcu(4.204). Aceastăobservaţieîncheiedemonstraţia
teoremei.
✸
Structura bloc-inferior triunghiulară a sistemului (4.210) împreună cu structura
superior triunghiulară a blocurilor diagonale fac ca rezolvarea sistemului (4.210) să
fie posibilă prin rezolvarea sistemelor
∑j−1
(S −t jj I m )y j = ˜c j + t kj y k , j = 1 : n, (4.212)
în ordinea j = 1,2,...,n, necunoscutele scalare y ij calculându-se, în ordinea i =
= n,n−1,...,2,1, cu formula
k=1
y ij = ˜c ij + ∑ j−1
k=1 y ikt kj − ∑ m
k=i+1 s iky kj
s ii −t jj
. (4.213)
După calculul matricei Y, matricea necunoscută iniţială se determină din prima
relaţie (4.206) cu formula
X = UYV H . (4.214)
Valorificarea algoritmică a părţii constructive a demonstraţiei teoremei 4.16 o
vom face în două etape. Mai întâi vom prezenta un algoritm pentru rezolvarea
unei ecuaţii Sylvester ”triunghiulare” de tipul (4.207) care va fi apoi folosit într-un
algoritm pentru rezolvarea ecuaţiei Sylvester având forma generală (4.203).
41 Vezi şi una din notele de subsol precedente, referitoare la utilizarea produselor Kronecker.