Calculul valorilor si vectorilor proprii

250 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
a aritmeticii reale şi alegerii µ k = h (k)
44 , a deplasării pentru toţi k ≥ 2. Modul în
care se gestionează întreaga structură a matricei H k este tratat mai departe. ✸
Observaţia 4.5 Situaţiile de genul celor evidenţiate în exemplul 4.4 se pot sesiza
prin supravegherea elementului h n,n−1 şi dacă, după un număr convenit de
iteraţii 18 modulul său nu scade sub o toleranţă impusă, se intervine, de obicei prin
renunţarea, pentru un singur pas, la deplasarea dată de (4.125). În literatura de
specialitate (vezi [X]) există unele recomandări pentru alegerea acestei deplasări
modificate, bazate pe o bogată experienţa numerică dar lipsite de o justificare teoretică
corespunzătoare. Dacă o astfel de măsură nu dă rezultate, în general se
renunţă la continuarea calculului 19 . Detaliile vor fi precizate în descrierea algoritmilor.
✸
În concluzie, algoritmul QR cu deplasare explicită este definit, în esenţă, de
recurenţa (4.110), cu alegerea (4.125) a deplasării. Avându-se în vedere structura
superior Hessenberg a tuturor matricelor şirului QR, pentru factorizarea QR se
recomandă utilizarea rotaţiilor. În consecinţă, un pas simplu QR cu deplasare
explicită (fără acumularea transformării) constă în efectuarea următoarelor calcule,
pe loc, în spaţiul de memorie al matricei H.
1. µ = h nn
2. H ← H −µI n
3. Pentru j = 1 : n−1
1. Se determină rotaţia plană (complexă) P j,j+1 astfel
încât (P H j,j+1 H) j+1,j = 0.
2. H ← P H j,j+1 H
4. Pentru j = 1 : n−1
1. H ← HP j,j+1
5. H ← H +µI n
Matricea de transformare curentă este dată de
Q k = P 12 P 23···P n−1,n ,
iar completarea algoritmului cu acumularea transformărilor (care se face numai în
caz de necesitate) este lăsată în sarcina cititorului.
Complexitatea unui pas QR cu deplasare explicită aplicat unei matrice superior
Hessenberg este O(n 2 ) algoritmul de mai sus necesitând N ≈ 6n 2 flopi (complecşi).
PasulQRdemaisusseajusteazăladimensiuneacurentăaproblemei,pemăsură
ce se pun în evidenţă valorile proprii calculate. O modalitate concretă de gestionare
a valorilor proprii calculate va fi prezentată în cadrul algoritmului QR cu deplasare
implicită.
18 Valorile uzuale sunt în jurul lui 10.
19 Numărul de iteraţii la care se ia decizia de ”lipsă de convergenţă” şi de oprire a calculului
este, uzual, între 20 şi 30.