Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.4. CONDIŢIONARE 411
opt 1 opt 2 N op N op
versiunea 1 versiunea 2
’nu’ ’nu’ 4mn 2 − 4 3 n3 2mn 2 +2n 3
’da’ ’nu’ 4m 2 n+8mn 2 4m 2 n+13n 3
’nu’ ’da’ 4mn 2 +8n 3 2mn 2 +11n 3
’da’ ’da’ 4m 2 n+8mn 2 +8n 3 4m 2 n+22n 3
Tabelul 5.1: Complexitatea algoritmului DVS
5.4 Condiţionarea valorilor singulare
În această secţiune vom aborda câteva aspecte privind sensibilitatea valorilor singulare
şi a vectorilor singulari la perturbaţii numerice în matricea iniţială. În acest
scop se vor dovedi utile rezultatele preliminare stabilite în continuare. Ca şi până
acum,rezultateleşidemonstraţiilevorfiprezentatepentrucazul,maigeneral,almatricelor
complexe, particularizarea pentru matricele reale (care se reduce, în esenţă,
la înlocuirea mulţimii IC cu mulţimea IR şi a operatorului hermitic H cu operatorul
de transpunere T ) fiind lăsată în sarcina cititorului.
5.4.1 Rezultate preliminare
Fie matricea A ∈ IC n×n . Valorile singulare ale matricei A[ fiind nemijlocit ] legate
0 A
de valorile proprii ale matricelor hermitice A H A, AA H H
sau multe din
A 0
rezultatele stabilite în secţiunea §4.1, referitoare la proprietăţile spectrale ale matricelor
hermitice (în cazul real, simetrice) îşi găsesc un corespondent direct şi imediat
în proprietăţile valorilor singulare. Fie V un subspaţiu liniar al lui IC n şi S
mulţimea vectorilor de normă euclidiană unitară din IC n , i.e. sfera de rază unitară
centrată în origine. Notăm cu V S = V ∩S, i.e. mulţimea vectorilor de normă unitară
din subspaţiul V. Reamintim că intotdeauna valorile singulare ale unei matrice
sunt indexate în sens descrescător.
În primul rând, teoremei 4.3 îi corespunde următorul rezultat.
Teorema 5.9 Fie A ∈ IC n×n şi σ(A) = {σ 1 ,σ 2 ,...,σ p }, p = min(m,n), mulţimea
valorilor sale singulare. Atunci avem
unde ‖ · ‖ def
= ‖ · ‖ 2 .
σ max = max
x ∈ S ‖Ax‖,
σ min = min ‖Ax‖, (5.103)
x ∈ S