Calculul valorilor si vectorilor proprii

528 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
P5.13 a) Dacă U 1 ∈ IR m×m , V 1 ∈ IR n×n sunt reflectori elementari astfel încât U 1u =
= ‖u‖e 1 ∈ IR m , şi V 1v = ‖v‖e 1 ∈ IR n , atunci:
[ ]
U1 T ‖u‖‖v‖ 0
AV 1 = ∈ IR m×n .
0 0
Evident, rangA = 1 dacă u ≠ 0, v ≠ 0, şi zero altfel. b) Dacă rangA = 1, atunci
dezvoltarea valorilor singulare se reduce la A = σ 1u 1v1 H .
P5.14 Fie ¯w def
= Q¯v⊥ū, unde Q este o matrice ortogonală (cum calculaţi matricea Q)
şi w def
= ¯w/‖¯w‖, u def
= ū/‖ū‖. Calculaţi o matrice ortogonală C ∈ IR n×(n−2) astfel încât
U = [u w C] şi V = [w u C] sunt ortogonale (folosiţi factorizarea QR a matricei [u w]).
Atunci
⎡
u T (I +ū¯v T )w u T (I +ū¯v T )u 0
U T (I +ū¯v T )V = ⎣ w T (I +ū¯v T )w w T (I +ū¯v T )u 0 ⎦ =
=
0 0 I n−2
⎤
[ ]
uTū¯v T w 1+u T ū¯v T u 0
1 0 0
0 0 I n−2
şi problema a fost redusă la cazul 2×2 (oricum, celelalte n−2 valori singulare ale lui A
sunt egale cu 1).
P5.15 Se aplică algoritmul JQ cu precizarea că reflectorii complecşi utilizaţi sunt de
tipul celor care dau un rezultat real, e.g. pentru x ∈ IC n se obţine U H 1 x = ‖x‖e 1 ∈ IR n .
P5.16 Matricea T = J H J este tridiagonală, hermitică şi are două valori proprii egale.
Conform problemei 4.63 (v. cap.4) T este reductibilă, i.e. există i astfel încât T(i+1,i) =
= ḡ if i = 0. Deci, g i = 0 sau/şi f i = 0.
P5.17 Pentru a exploata structura superior triunghiulară, se utilizează o secvenţă de
rotaţii ”modificate”, conform următoarei scheme de calcul:
1. Pentru k = n : −1 : 3
1. Pentru i = 1 : k −2
1. Se calculează rotaţia modificată P i,i+1 astfel încât (P H i,i+1A)(i,k) = 0.
2. A ← P H i,i+1A % Apare un element nenul în poziţia (i+1,i).
3. Se calculează rotaţia modificată Q i,i+1 astfel încât (AQ i,i+1)(i+1,i) = 0.
2. A ← AQ i,i+1.
Pentru n = 4, primul pas al ciclului exterior se desfăşoară astfel:
A ← P H 12A =
A ← P H 23A =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
× × × ∅
+ × × ×
× ×
×
× × × 0
× × ∅
+ × ×
×
⎤
⎥
⎦, A ← AQ 12 =
⎤
⎥
⎦, A ← AQ 23 =
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
× × × 0
∅ × × ×
× ×
×
× × × 0
× × 0
∅ × ×
×
⎤
⎥
⎦,
⎤
⎥
⎦.