Calculul valorilor si vectorilor proprii

360 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
O funcţie pentru ordonarea formei Schur se găseşte în Control Toolbox 64 .
Aceasta se numeşte schord şi implementează algoritmul FSC ORD, adică permută
complet forma Schur. Funcţia utilizează numai forma Schur complexă, adică
o matrice superior triunghiulară. În cazul real, trebuie apelate funcţiile rsf2csf şi
csf2rsf pentru transformarea ortogonală a unei forme Schur reale într-una complexă
(înainte de ordonare) şi invers (după aceea).
Nu există nici o funcţie specială pentru matrice simetrice.
4.13 Probleme
P 4.1 Se consideră date matricele
[
3 −3 2
A = −1 5 −2
−1 3 0
]
, B =
[ −4 0 8
−8 3 9
−4 −1 9
]
.
Folosind definiţiile, calculaţi valorile proprii ale celor douămatrice şi câte unvector propriu
asociat fiecărei valori proprii. Sunt cele două matrice diagonalizabile Verificaţi.
P 4.2 În cadrul capitolului, cazul real a fost tratat adesea ca un caz particular al cazului
complex. În acest context, este IR n un subspaţiu liniar al spaţiului IC n Justificaţi
răspunsul.
[ ]
A 0
P 4.3 Fie matricele A ∈ IC m×m , B ∈ IC n×n şi matricea C = , suma directă a
0 B
matricelor A şi B. Demonstraţi că C este diagonalizabilă dacă şi numai dacă A şi B sunt
diagonalizabile.
P 4.4 [ Se consideră ] o matrice A ∈ IR n×n având structura bloc superior triunghiulară
A1 A 12
A = . Dacă matricele A 1 şi A 2 sunt diagonalizabile, este diagonalizabilă şi
0 A 2
matricea A Argumentaţi răspunsul.
P 4.5 Fie matricele A ∈ IC m×n , B ∈ IC n×m . Demonstraţi că λ(AB) ⊆ λ(BA) dacă m ≤ n
şi λ(BA) ⊆ λ(AB) dacă m ≥ n. În cazul, m ≠ n, care dintre valorile proprii ale matricei
de ordin mai mare (dintre matricele AB şi BA) nu sunt valori proprii ale matricei de ordin
mai mic
P 4.6 Perechea de matrice (A,B) ∈ IC n×n ×IC n×n se numeşte diagonalizabilă (sau, echivalent,
matricele Aşi B se numescsimultan diagonalizabile) dacăexistăomatrice nesingulară
X ∈ IC n×n astfel încât X −1 (A,B)X def
= (X −1 AX,X −1 BX) = (Λ A,Λ B), cu Λ A, Λ B diagonale.
Demonstraţi: a) Dacă A este diagonalizabilă, atunci perechea (A,µI n) este
diagonalizabilă pentru toţi µ ∈ IC. b) Dacă (A,B) este diagonalizabilă, atunci matricele
A şi B comută. c) Presupunem că matricele A şi B sunt diagonalizabile. Atunci A şi B
comută dacă şi numai dacă perechea (A,B) este diagonalizabilă. d) Daţi un exemplu de
două matrice care comută şi care nu sunt simultan diagonalizabile.
P 4.7 Dacă matricele A,B ∈ IC n×n comută, atunci au un vector propriu comun.
64 Colecţiile de funcţii MATLAB dedicate unor domenii specializate şi nefăcând parte din setul
de bază al limbajului poartă numele consacrat de toolbox.