Calculul valorilor si vectorilor proprii

386 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Utilizând prima din relaţiile de mai sus, din penultima obţinem (AD) H AD =
= ADAD = 0, i.e. AD = 0. Similar, din prima şi ultima relaţie obţinem DA = 0.
Prin urmare satisfacerea celei de a doua din relaţiile de mai sus implică D = 0, i.e.
X = Y.
✸
Propoziţia ce urmează oferă o caracterizare interesantă a pseudoinversei.
Propoziţia 5.5 Fie A ∈ IC m×n . Pseudoinversa X = A + este unica soluţie matriceală
de normă Frobenius minimă a problemei
min
X∈IC n×m‖AX −I m‖ F . (5.54)
Demonstraţie. ÎntrucâtnormaFrobenius nu este alteratăde transformăriunitare,
avem
r F (X) def
= ‖AX −I m ‖ F = ‖U H AVV H X −U H ‖ F = ‖ΣV H X −U H ‖ F =
[ ][ ] ∥ [ ]∥ ‖ΣV H XU−I m ‖ F =
Σ1 0 Y11 Y ∥∥∥F 12
∥
−I
0 0 Y 21 Y m =
Σ1 Y 11 −I r Σ 1 Y ∥∥∥F 12
22
∥
,
0 I m−r
undeY def
= V H XU ∈ IC n×m şipartiţialuiY esteconformăcupartiţialuiΣ. Evident,
r F (X)esteminimăatuncicândatât‖Σ 1 Y 12 ‖ F câtşi‖Σ 1 Y 11 −I r ‖ F suntminime, i.e.,
pentru Y 12 = 0 şi Y 11 = Σ −1
1 . Deci, toate matricele X ∈ IRn×m care minimizează
r F (X) sunt de forma
[ Dar‖X‖ F =
Σ
−1
∥
1 0
Y 12
X = VYU H = V
[ ]
Σ
−1
1 0
U H .
Y 21 Y 22
]∥ ∥∥∥F
esteminimăpentruY
Y 21 = 0,Y 22 = 0. Înconsecinţă,
22
soluţia de normă Frobenius minimă pentru problema (5.54) este matricea X =
= VΣ + U H = A + . ✸
Din rezultatele de mai sus rezultă că valorile singulare nenule ale pseudoinversei
sunt inversele valorilor singulare nenule ale matricei iniţiale, vectorii singulari la
stânga, respectiv la dreapta ai pseudoinversei sunt vectorii singulari la dreapta,
respectiv la stânga, ai matricei iniţiale asociaţi valorilor singulare corespondente.
Drept consecinţă, obţinem următoarea DVS pentru pseudoinversa matricei A
A + = U 1 Σ −1
1 V H
1 =
r∑
j=1
unde u j , v j sunt coloanele j ale matricelor U şi, respectiv, V.
5.2.5 Subspaţii liniare. Baze ortogonale
v j u H j
σ j
, (5.55)
Considerăm important să evidenţiem faptul că se pot construi baze ortogonale ale
subspaţiilor fundamentale definite de o matrice arbitrară folosind vectorii săi singulari
15 .
15 În capitolul 3 a fost prezentată o metodă alternativă de construcţie a bazelor ortogonale ale
subspaţiilor fundamentale definite de o matrice, metodă bazată pe utilizarea factorizării QR cu