Calculul valorilor si vectorilor proprii

396 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
4. Dacă se doreşte calculul matricei V, atunci
3. V ← I n
4. Pentru k = n−2 : −1 : 1
1. V ← V k+1 V
Utilizând procedurile din tabelul 4.3 (vezi cap. 4), algoritmul corespunzător
schemei de calcul de mai sus se scrie astfel.
Algoritmul 5.1 (JQc – Reducerea la forma bidiagonală) (Dată matricea
A ∈ IC m×n , cu m ≥ n, algoritmul calculează reflectorii hermitici
U k , k = 1 : p, p = min(m−1,n), şiV k , k = 2 : n−1, astfel încâtmatricea
J = U H p ...UH 1 AV 2...V n−1 = U H AV este bidiagonală. Matricea J este
obţinută prin vectorii f ∈ IC n şi g ∈ IC n−1 ai elementelor sale diagonale,
respectiv supradiagonale. Opţional, se acumulează matricele unitare de
transformare U şi/sau V. Opţiunea se exprimă cu ajutorul variabilelor
logiceopt 1 şiopt 2 carepotluavalorile’da’sau’nu’. Dacănusedoreşte
acumularea, atunci pentru matricea respectivă se returnează matricea
unitate de dimensiune corespunzătoare.)
1. p = min(m−1,n)
2. Pentru k = 1 : p
1. [c,A(k : m,k),β k ] = Hc(A(k : m,k))
2. f k = c 1
3. Dacă k < n atunci
1. A(k : m,k +1 : n) =
= Hcs(A(k : m,k),β k ,A(k : m,k +1 : n))
4. Dacă k < n−1 atunci
1. [c,v,γ k+1 ] = Hc((A(k,k +1 : n)) T )
2. A(k,k +1 : n) = v T
3. g k = c 1
4. A(k +1 : m,k +1 : n) =
= Hcd(A(k : m,k +1 : n),v,γ k+1 )
5. g n−1 = A(n−1,n)
3. Dacă m = n atunci
1. f n = A(n,n)
4. U = I m , V = I n
5. Dacă opt 1 = ′ da ′ atunci
1. Pentru k = p : −1 : 1
1. U(k : m,k : m) = Hcs(A(k : m,k),β k ,U(k : m,k : m))
6. Dacă opt 2 = ′ da ′ atunci
1. Pentru k = n−2 : −1 : 1
1. V(k +1 : n,k +1 : n) =
= Hcs((A(k,k+1 : n)) T ,γ k+1 ,V(k +1 : n,k +1 : n))