Calculul valorilor si vectorilor proprii

426 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
DVS a matricei H, cu partiţiile din (5.139), avem U 2 Σ 2 = H 1 V 12 +H 2 V 22 . Acum,
ţinând seama de consistenţa normei spectrale, putem scrie următoarea secvenţă de
inegalităţi
σ n+1 = ‖Σ 2 ‖ = ‖U 2 ‖·‖Σ 2 ‖ ≥ ‖U 2 Σ 2 ‖ = ‖H 1 V 12 +H 2 V 22 ‖ =
= max
‖y‖=1 ‖(H 1V 12 +H 2 V 22 )y‖ ≥ ‖H 1 V 12 z‖ ≥ min
‖w‖=1 ‖H 1w‖ = σ n (H 1 ),
ceea ce contrazice ipoteza lemei. Deci V 22 este nesingulară.
2 ◦ . Conform teoremei 5.11 (de separare a valorilor singulare) avem
σ n = σ n (H) ≥ σ n (H [n+p−1] ) ≥ ... ≥ σ n (H [n] ) def
= σ n (H 1 ), (5.141)
de unde, în ipoteza lemei, rezultă σ n ≥ σ n (H 1 ) > σ n+1 , obţinându-se inegalitatea
strictă din enunţ.
✸
Formulăm acum teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei CMMPT.
Teorema 5.16 Utilizând notaţiile (5.138), (5.139), dacă σ n (H 1 ) > σ n+1 , atunci
matricea G ∗ def
= [ E ∗ R ∗ ] definită de
G ∗ = [ E ∗ R ∗ ] = −C −1 U 2 Σ 2 [ V H
12 V H
22 ]D−1 (5.142)
este o soluţie a problemei de minimizare CMMPT (5.137).
În plus, dacă notăm
D 1 = diag(d 1 ,d 2 ,...,d n ), D 2 = diag(d n+1 ,d n+2 ,...,d n+p ), (5.143)
atunci matricea
X ∗ = −D 1 V 12 V22 −1 D−1 2 (5.144)
există şi este unica soluţie a sistemului
(A+E ∗ )X = B +R ∗ , (5.145)
i.e. este unica (pseudo)soluţie, în sens CMMPT, a sistemului liniar AX = B.
Demonstraţie. Condiţia (B +R) ⊆ Im(A+E) este echivalentă cu existenţa unei
matrice X ∈ IC n×p astfel încât (A + E)X = B + R. Cu notaţiile din (5.137) şi
(5.138), ultima relaţie poate fi scrisă în următoarele forme echivalente
([ ] ) [ ]
[ ]
X A B +G = 0 ⇔ (H +CGD)D −1 X
= 0. (5.146)
−I p −I p
[ ]
X
Întrucât matricea este monică, din (5.146) rezultă rang(H +CGD) ≤ n.
−I p
NotândF def
= CGD, încontinuareaplicămteorema5.15matricei−F = H−(H+F).
Obţinem
n+p
min ‖F‖ 2 F = ∑
σi 2 , (5.147)
rang(H+F)≤n
i=n+1