Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.9. METODE ALTERNATIVE 331
supunem, de asemenea, că toate elementele vectorului g sunt nenule 53 . În esenţă,
pentru calculul unei valori proprii, metoda bisecţiei constă în localizarea acesteia
într-un interval [α, β] şi reducerea acestui interval, prin înjumătăţire succesivă, cu
păstrarea valorii proprii în interval. În acest fel, după t înjumătăţiri lungimea intervalului
devine δ = β −α
2 t şi, în consecinţă, într-o aritmetică exactă, se poate obţine
orice precizie dorită.
Pentru determinarea intervalului iniţial [α, β] putem utiliza teorema discurilor
lui Gershgorin, de localizare a întregului spectru, conform căreia λ(T) este situat
în reuniunea intervalelor
n⋃ {
I = λ ∈ IR |λ−fi | ≤ |g i−1 |+|g i | } , (4.299)
i=1
unde, pentru simplificarea scrierii, am introdus numerele g 0 = 0 şi g n = 0. Evident,
avem
⎧
α = min (f i −|g i−1 |−|g i |),
⎪⎨
i ∈ 1 : n
I ⊆ [α,β], unde
(4.300)
β = max (f i +|g i−1 |+|g i |).
⎪⎩
i ∈ 1 : n
În continuare, intervalul [α,β], cu α şi β din (4.300), va servi drept iniţializare
pentru orice demers de calcul al valorilor proprii prin metoda bisecţiei. Lăsând cititorului
sarcina codificării relaţiei (4.300), de calcul a scalarilor α şi β, ne mărginim
să precizăm sintaxa de apel a procedurii respective
[α, β] = Int(f,g).
Prezentăm, în continuare, câteva rezultate care ne vor permite să decidem dacă
o valoare proprie sau un grup de valori proprii se află sau nu se află situate într-un
[k] def
interval dat. Fie T = T(1 : k,1 : k) submatricea lider principală de ordinul k a
[k] def [k−1] def
matricei T definită, evident, de vectorii f = f(1 : k) şi g = g(1 : k − 1).
Definim polinoamele
p 0 (λ) = 1,
p 1 (λ) = det(T [1] −λI 1 ) = f 1 −λ,
p k (λ) = det(T [k] −λI k ), k = 2 : n
(4.301)
((−1) k p k (λ) sunt polinoamele caracteristice ale submatricelor T [k] ).
Pentru k > 2 avem
⎡
⎤
0
T
p k (λ) = det
[k−1] −λI k−1 .
⎢
⎣
g k−1
⎥
⎦ =
0 ··· g k−1 f k −λ
53 Altfel, problema se sparge în două sau mai multe probleme de dimensiune mai mică.