Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.4. CONDIŢIONARE 413
Demonstraţie. [ ] Aplicând [ teorema ] 4.7 (v. §4.1) matricelor hermitice B =
0 A
H 0 E
H
= şi F = , în ipoteza că valorile proprii sunt ordonate
A 0 E 0
descrescător, avem
λ k (B)+λ m+n (F) ≤ λ k (B +F) ≤ λ k (B)+λ 1 (F). (5.107)
Dar, conform propoziţiei 5.1, avem λ k (B) = σ k (A), k = 1 : min(m,n), λ 1 (F) =
= σ 1 (E) şi λ m+n (F) = −σ 1 (E), i.e. relaţia (5.107) este de fapt una şi aceeaşi cu
(5.106). Teorema este demonstrată. ✸
În sfârşit, prezentăm corespondentul pentru valorile singulare al teoremei 4.8
(Wielandt-Hoffmann).
Teorema 5.13 Dacă A,E ∈ IC m×n şi p = min(m,n), atunci
p∑
(σ j (A+E)−σ j (E)) 2 ≤ ‖E‖ 2 F , (5.108)
j=1
unde ‖E‖ F este norma Frobenius a matricei E.
Demonstraţie. [ Aplicând ] teorema[ Wielandt-Hofmann ] (v. §4.1) matricelor hermitice
B = şi F = şi ţinând seama de relaţia dintre
0 A
H 0 E
H
A 0 E 0
valorile proprii ale matricelor B şi F şi valorile singulare ale matricelor A şi E (v.
propoziţia 5.1) se obţine rezultatul dorit.
✸
5.4.2 Condiţionarea valorilor singulare
Rezultatele prezentate mai sus permit aprecierea condiţionării valorilor singulare.
În primul rând, având în vedere faptul că valorile singulare ale unei matrice A ∈
∈ IC n×n sunt rădăcinile pătrate ale valorilor proprii ale matricelor hermitice A H A
sau AA H , iar acestea din urmă sunt perfect condiţionate (v. §4.10), rezultă că şi
valorile singulare sunt perfect condiţionate, i.e. putem considera că numerele de
condiţionare ale valorilor singulare sunt egale cu unitatea.
Rezultatul principal care susţine afirmaţia de mai sus este dat de teorema 5.12.
Într-adevăr, inegalităţile (5.106) pot fi scrise sub forma
|σ k (A+E)−σ k (A)| ≤ σ 1 (E) = ‖E‖, (5.109)
unde, evident ‖E‖ = σ 1 (E) este norma spectrală a lui E. Dacă privim matricea E
ca o matrice de perturbaţii (sau de incertitudine) în datele iniţiale, atunci marginea
(5.109) arată că, în ipoteza unui calcul exact, variaţiile absolute ale valorilor singulare
induse de variaţiile în elementele matricei nu depăşesc norma spectrală a
matricei de perturbare. Desigur, dacă ne referim la variaţiile relative, valorile singulare
mari sunt avantajate, în timp ce valorile singulare mici pot să sufere variaţii
relative mari.