Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 315
seobţine un sporesenţialde eficienţăprin parcurgereaprealabilăafazeidirecte aalgoritmului
QR, i.e. reducerea matricei date la forma superior Hessenberg. Datorită
conservării simetriei la transformările ortogonale de asemănare, structura superior
Hessenberg obţinută este, simultan, inferior Hessenberg, i.e. devine o structură
tridiagonală.
4.8.1 Reducerea la forma tridiagonală
Baza teoretică a posibilităţii de reducere la forma tridiagonală a unei matrice simetrice
este dată de teorema 4.14, care, în noul context, are următorul enunţ.
Teorema 4.19 Oricare ar fi matricea simetrică A ∈ IR n×n , există o matrice ortogonală
Q ∈ IR n×n astfel încât matricea
T = Q T AQ (4.266)
este tridiagonală, i.e. t ij = 0, pentru toţi i, j, cu |i−j| > 1.
Demonstraţie. Demonstraţiasereduce laobservaţiade mai suscă, înconformitate
cu teorema 4.14, există o matrice ortogonală Q astfel încât matricea T not
= H =
= Q T AQ este superior Hessenberg şi la faptul că această matrice este simetrică
T T = Q T A T Q = Q T AQ = T. Prin urmare T este, simultan, inferior Hessenberg,
i.e. este o matrice tridiagonală.
✸
Pentruaelaboraunalgoritmperformant, caresăexploatezeeventualelefacilităţi
calculatorii induse de conservarea simetriei, reamintim schema de calcul care stă la
baza reducerii la forma Hessenberg, aceeaşi cu schema de calcul pentru reducerea
la forma tridiagonală.
TQ 1. Pentru k = 1 : n−2
1. Se calculează un reflector elementar U k+1 astfel încât
(U k+1 A)(k +2 : n,k) = 0.
2. A ← (U k+1 A)U k+1 % Se anulează A(k +2 : n,k) şi, simultan,
datorită conservării simetriei, se anulează
A(k,k +2 : n).
În urma efectuării calculelor de mai sus matricea A este suprascrisă cu matricea
unde, evident,
A ← T = Q T AQ = U n−1···U 3 U 2 AU 2 U 3···U n−1 , (4.267)
Q = U 2 U 3 ...U n−1 . (4.268)
Considerăm acum pasul curent k al procesului de tridiagonalizare descris mai sus
şi fie
A ← T (k) = U k···U 3 U 2 AU 2 U 3···U k = ⎢
⎣
⎡
k−1
{}}{
1
{}}{
n−k
{}}{
T (k)
11 T (k)
12 0
T (k)
21 T (k)
22 T (k)
23
0 T (k)
32 T (k)
33
⎤
}k −1
⎥
⎦ }1
}n−k
(4.269)