Calculul valorilor si vectorilor proprii

472 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
cu perechea (H 22 ,T 22 ) ∈ IC (n−p−q)×(n−p−q) ×IC (n−p−q)×(n−p−q) în formă Hessenberg
generalizată ireductibilă şi H 33 ,T 33 ∈ IR q×q superior triunghiulare. Astfel, iteraţia
QZ (complexă) se va aplica, de fapt, numai perechii (H 22 ,T 22 )
(H 22 ,T 22 ) ← (H ′ 22 ,T′ 22 ) = (QH 22 H 22Z 22 ,Q H 22 T 22Z 22 ), (6.57)
echivalentă cu aplicarea asupra perechii de matrice (H,T) a transformării de echivalenţă
unitare
Q = diag(I p ,Q 22 ,I q ), Z = diag(I p ,Z 22 ,I q ). (6.58)
Această transformare afectează celelalte blocuri ale matricelor H, T din (6.56) în
felul următor:
⎡
⎤ ⎡
⎤
H 11 H 12 Z 22 H 13 T 11 T 12 Z 22 T 13
H ′ ⎢
= ⎣ 0 Q H 22 H 22Z 22 Q H 22 H ⎥
23 ⎦, T ′ ⎢
= ⎣ 0 Q H 22 T 22Z 22 Q H 22 T ⎥
23 ⎦.
0 0 H 33 0 0 T 33
(6.59)
Algoritmul QZ se termină în momentul în care se anulează toate elementele
subdiagonale ale matricei H, i.e. q devine n − 1. Utilizând, pentru claritate, sintaxele
de apel menţionate ale algoritmilor 6.1–6.4, algoritmul QZ cu pas simplu, cu
deplasare implicită, se scrie astfel.
Algoritmul 6.5 (QZ1 – Algoritmul QZ cu paşi simpli şi deplasări
implicite) (Date un fascicol matriceal definit de perechea (A,B)∈IC n×n ×
×IC n×n , matricele unitare Q,Z ∈ IC n×n şi un nivel de toleranţă tol
pentru anularea elementelor subdiagonale, algoritmul calculează forma
Schurgeneralizată(A,B) ← (S,T)=(Q H AZ,Q H BZ) a perechii (A,B).
Toate calculele se efectuează pe loc, în locaţiile de memorie ale tablourilor
A şi B. Opţional, se acumulează transformările prin actualizarea
matricelor Q şi Z. Opţiunea se exprimă cu ajutorul variabilei logice opt
de tipul şir de caractere care poate lua valorile ′ da ′ sau ′ nu ′ . Dacă nu
se doreşte acumularea, matricele Q şi Z se returnează nemodificate.)
1. % Reducerea la forma Hessenberg generalizată
1. [A,B,Q,Z] =HTQZc(A,B,Q,Z,opt)
2. % Deplasarea zerourilor diagonale ale matricei B şi evidenţierea
valorilor proprii infinite.
1. [A,B,Q,Z] =DZc(A,B,Q,Z,opt)
3. % Faza iterativă
1. p = 0, q = 0, cont it = 0
2. C^at timp q < n
1. % Anularea elementelor subdiagonale neglijabile
Pentru i = p+1 : n−q −1
1. Dacă |a i+1,i | ≤ tol(|a ii |+|a i+1,i+1 |) atunci a i+1,i = 0