Calculul valorilor si vectorilor proprii

268 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
recomandate în [X].
La terminarea cu succes a fazei iterative, triangularizarea blocurilor diagonale
2×2 cu valori proprii reale se poate face aplicând procedura standard de deflaţie.
Dacă G ∈ IR 2×2 are valorile proprii reale, i.e.
∆ = (g 11 −g 22 ) 2 +4g 12 g 21 ≥ 0, (4.157)
atunci
x 1 =
[ ]
λ1 −g 22
g 21
este un vector propriu asociat valorii proprii λ 1 ∈ λ(G) dată de
(4.158)
λ 1 = g 11 +g 22 +sgn(g 11 +g 22 ) √ ∆
. (4.159)
2
Atunci rotaţia P ∈ IR 2×2 , care asigură satisfacerea condiţiei (P T x 1 )(2) = 0, are
prima coloană coliniară cu x 1 şi, conform lemei 4.3, realizează triangularizarea
urmărită
[ ]
˜G = P T λ1 ˜g
GP = 12
. (4.160)
0 λ 2
Dacă blocul diagonal ce trebuie triangularizat, pe care îl notăm generic cu G, se
află în poziţia definită de liniile şi coloanele k şi k + 1, atunci rezultatul dorit se
obţine aplicând matricei date o transformare ortogonală de asemănare definită de
matricea diag(I k−1 ,P,I n−k−1 ).
Învedereaunei scrierimaiconciseaalgoritmuluiQRcudeplasareimplicită pentru
matrice reale, prezentăm aici un algoritm preliminar care procesează perechea
bloc-diagonală 2×2 aflată în poziţia (k,k +1).
Algoritmul 4.9 (TRID2 – Triangularizarea unui bloc diagonal
2 × 2) (Dată o matrice S ∈ IR n×n în formă cvasisuperior triunghiulară
şi întregul k ∈ 1 : n−1 algoritmul testează dacă submatricea
S(k : k+1,k : k+1) are valorile proprii reale şi, în caz afirmativ, calculează
triangularizarea ortogonală a blocului diagonal vizat, rezultatul
suprascriindmatriceaS. Deasemenea, algoritmulreturneazăelementele
definitorii c şi s ale rotaţiei reale calculate. În caz contrar matricea
S rămâne nemodificată şi, pentru identificarea acestei situaţii, se returnează
c = 1, s = 0.)
1. c = 1, s = 0
2. β = s k,k +s k+1,k+1 , γ = s k,k s k+1,k+1 −s k,k+1 s k+1,k , ∆ = β 2 −4γ.
3. Dacă ∆ ≥ 0 atunci
1. λ = (β +sgn(β) √ ∆)/2
[ ]
λ−sk+1,k+1
2. x =
s k+1,k
3. [x,c,s] = Gr(x)
4. S(1 : k+1,k:k+1) = Grd(S(1 : k+1,k:k+1),c,s)