Calculul valorilor si vectorilor proprii

498 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
6.7 Rutine LAPACK şi MATLAB
LAPACK. Calculul valorilor şi vectorilor proprii generalizaţi ai unei perechi de
matrice (A,B) este efectuat în LAPACK de două rutine driver:
1. xGEGS calculează forma Schur generalizată a perechii (A,B) şi eventual vectorii
Schur, folosind algoritmul QZ.
2. xGEGV calculează valorile şi eventual vectorii proprii generalizaţi ai perechii
(A,B).
Principalele rutinele de calcul implementează cele două faze ale algoritmului
QZ; să notăm abrevierile utilizate pentru diverse tipuri de matrice interesante în
această problemă: GG – pereche de matrice generale, HG – pereche în forma Hessenberg
generalizată, TG – pereche în forma Schur generalizată.
• xGGHRD realizează reducerea unei perechi generale (A,B) la forma Hessenberg
generalizată (H,T) prin transformări de asemănare ortogonale.
• xHGEQZ implementează faza iterativă a algoritmului QZ, transformând perechea
(H,T) în forma Schur generalizată, cu acumularea opţională a transformărilor
(şi deci obţinerea vectorilor Schur).
Vectorii proprii generalizaţi ai unei perechi în formă Schur (A,B) sunt calculaţi
de rutina xTGEVC. Aceeaşi rutină poate calcula vectorii proprii generalizaţi ai perechiiiniţiale(A,B),
dacăprimeştecaargumentedeintrarevectoriiSchurgeneralizaţi
calculaţi de rutinele de mai sus.
Rutina xGGBAL realizează scalarea (echilibrarea) perechii (A,B). Alte rutine,
similare cu cele pentru valori proprii, sunt actualmente în curs de elaborare.
MATLAB. Valorile şi vectorii proprii generalizaţi ai unei perechi (A,B) pot
fi calculate cu aceeaşi funcţie ca valorile proprii (diferenţa e făcută de numărul
argumentelor de intrare):
[V, D] = eig(A, B)
V fiind matricea vectorilor proprii generalizaţi, iar D o matrice diagonală conţinând
valorile proprii generalizate (astfel încât AV = BVD). Apelul simplu eig(A,B)
returneazăun vectorconţinândvalorilepropriigeneralizate. Funcţiaimplementează
algoritmul QZ.
6.8 Probleme
P 6.1 Se consideră fascicolul matriceal F = A−λB, unde
[ ] 2 4 5
[ 1 1 1
A = 2 5 8 , B = 1 α 2
2 3 2 1 2−α β
]
,