Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 525
x T 1x 2 = 0. Pentru celelalte matrice puteţi utiliza calculatorul.
P4.58 Se utilizează reflectori complecşi care aplicaţi unui vector complex asigură
obţinerea unui vector real cu zerouri în poziţiile necesare (v. cap. 3). (În pachetul de
programe LAPACK astfel de reflectori sunt folosiţi curent).
P4.59 Matricea Q H AQ rămâne antihermitică (în cazul real, antisimetrică) oricare ar
fi matricea unitară (ortogonală) Q. Prin urmare, în aplicarea procedurii de reducere la
forma superior Hessenberg, matricele obţinute după fiecare pas al reducerii şi matricea
finală sunt antihermitice (antisimetrice). O matrice superior Hessenberg antihermitică
(antisimetrică) este tridiagonală. Exploataţi aceste observaţii structurale.
−γǫ 2
P4.60 a) Se obţine H k+1 (2,1) =
(α−β) 2 +ǫ2, ceea ce indică o convergenţă pătratică
la forma Schur. b) În cazul simetric se obţine T −ǫ 3
k+1(2,1) = T k+1 (1,2) =
(α−β) 2 +ǫ 2,
ceea ce indică o convergenţă cubică la forma diagonală.
P4.61 b) Arătăm mai întâi că există o matrice de permutare P (produs de [ matrice ] de
0
permutare elementare) astfel încât PBP T di
= diag(D 1,...,D n), unde D i = .
d i 0
Pentru claritate, vom considera numai cazul când n este par. Mai întâi, calculăm o matrice
asemenea cu B, aplicând matricele de permutare elementare P n+1,2n, P n+2,2n−1, ...,
P 3n/2,3n/2+1 . Obţinem matricea C = Q T AQ care are elemente nenule numai pe diagonala
secundară; mai precis, aceste elemente sunt situate din colţul din dreapta sus spre colţul
din stânga jos în ordinea d 1, d 2, ..., d n, d n, ..., d 2, d 1. Atunci, aplicând permutările
elementare P 2,2n, P 4,2n−2, ..., P n,n+2, C este adusă la o formă cu blocuri diagonale 2×2,
i.e. diag(D 1,D 3,...,D 4,D 2). Permutarea acestor blocuri diagonale pentru a obţine forma
diag(D 1,D 2,...,D n) poate fi realizată cu uşurinţă utilizând un algoritm de sortare.
P4.62 a) Avem T ′ = L −1 TL, deci matricele şirului sunt asemenea şi, în anumite
condiţii (vezi b)), [ şirul poate ] pune asimptotic în evidenţă valori proprii ale matricei T.
α β
b) Dacă T = , atunci T ′ are elementele α ′ = α + β2
β γ
, α β′ = α√ β αγ −β2 ,
γ ′ = γ− β2 . Tinând seama de faptul că λ1, λ2 suntinvarianţi ai şirului, convergenţa şirului
α
matriceal este echivalentă cu convergenţa şirului numeric (α k ) k∈IN definit de recurenţa
α ′ = σ − κ , unde σ = λ1 +λ2 şi κ = λ1λ2 sunt constante. Arătaţi că acest din urmă şir
α
este monoton şi mărginit şi că limita sa este λ 1.
P4.63 a) Presupunem că matricea tridiagonală simetrică reală T are o valoare proprie
multiplă λ. Pentru precizarea ideilor, considerăm că ordinul de multiplicitate este 2.
Atunci există doi vectori proprii ortogonali x şi y asociaţi valorii proprii λ, i.e. Tx = λx
şi Ty = λy, cu y T x = 0. Presupunem că T este ireductibilă, i.e. toate elementele subşi
supradiagonale [ sunt ] nenule. Considerăm matricea S = T −λI n cu următoarea partiţie
S11 S 12
S = cu blocul S
S 21 S 12 ∈ IR (n−1)×(n−1) nesingular. Atunci rezultă x(2: n) =
22
= S −1
12
S11x(1). Întrucât x ≠ 0, rezultă x(1) ≠ 0. Absolut similar y(2:n) = S−1
12
S11y(1) cu
y(1) ≠ 0. Rezultă că x şi y sunt coliniari ceea ce contrazice faptul că sunt ortogonali. Deci
T nu poate fi ireductibilă. Dacă ordinul de multiplicitate este mai mare decât 2 atunci,
conform celor de mai sus, există două elemente extradiagonale simetrice nule care ”sparg”
matricea T în două matrice tridiagonale simetrice din care cel puţin una are o valoare
proprie multiplă etc. b) Generic, se constată o grupare a elementelor extradiagonale nule
înt-un bloc diagonal situat în colţul din dreapta jos. Explicaţia este următoarea: aplicarea
bilaterală a reflectorilor care realizează tridiagonalizarea aduce pe poziţiile (k+1,k) valori
egaleîn modulcunormadevector‖A(k+1 : n,k)‖, valoricare, pentruomatrice iniţialăfără