Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 509
% permutarea coloanelor lui E şi C
1. Dacă |e 12| > |e 11| atunci
1. e 11 ↔ e 12, e 21 ↔ e 22
2. Pentru i = 1 : p, c i1 ↔ c i2
% eliminare gaussiană la dreapta
2. µ = e 12/e 11
3. e 22 ← e 22 −µe 21
4. Pentru i = 1 : p
1. c i2 ← c i2 −µc i1
% rezolvare sistem inferior triunghiular, la dreapta
5. Pentru i = 1 : p
1. f i2 ← c 12/e 22
2. f i1 ← (c i1 −f i2e 21)/e 11
P2.31 Notând tot cu a ij elementele matricei P 1AP T 1 , prima relaţie se demonstrează
ţinând seama că ã ij = a ij−(a i1/a 11)a j1 şi, în plus, |a i1| ≤ µ 0 şi |a 11| = µ 1 ≥ αµ 0. Aşadar
max
i,j
|ã ij| ≤ |a 1 ij|+
α |aj1| ≤ (1+ 1 α )max |a ij|.
i,j
A doua relaţie se demonstrează în acelaşi stil, folosind formulele adecvate pentru ã ij.
P2.32 Detaliem numai cazul s = 2. Pivotul se găseşte în poziţia (i k ,j k ) şi trebuie
adus, la pasul curent k, în poziţia (k+1,k). Pentru aceasta sunt necesare două permutări
de linii şi de coloane (orice permutare de linii este însoţită de una de coloane, şi reciproc,
pentru a păstra simetria). Întâi se permută liniile şi coloanele k +1 şi i k, cu operaţiile:
A(k +1,k +1) ↔ A(i k ,i k )
A(k +1,1 : k) ↔ A(i k ,1 : k)
A(k +2 : i k −1,k +1) ↔ A(i k ,k +2 : i k −1)
A(i k +1 : n,k +1) ↔ A(i k +1 : n,i k ).
(Să notăm că pivotul a ajuns în poziţia (j k ,k+1).) Apoi se permută liniile şi coloanele k
şi j k , cu operaţiile
A(k,k) ↔ A(j k ,j k )
A(k,1 : k −1) ↔ A(j k ,1 : k −1)
A(k +1 : j k −1,k) ↔ A(j k ,k +1 : j k −1)
A(j k +1 : n,k) ↔ A(j k +1 : n,j k ).
P2.33 Algoritmul Cholesky, varianta cu Saxpy, este următorul (L se scrie peste triunghiul
inferior al lui A)
1. Pentru k = 1 : n
1. a kk ← √ a kk
2. Pentru i = k +1 : n
1. a ik ← a ik /a kk
3. Pentru j = k +1 : n
1. Pentru i = j : n
1. a ij ← a ij −a ik a jk
Evident, bucla 1.3.1 se poate înlocui cu un apel la Saxpy.
P2.34 Se respectă structura algoritmului la nivel de element, preluând ideile din algoritmul
CROUTbl.