Calculul valorilor si vectorilor proprii

334 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
ales când matricea are valori proprii apropiate şi nu poate fi evitat printr-o scalare
prealabilă a matricei T iniţiale.
Pentru depăşirea acestor dificultăţi, în [X] se recomandă utilizarea mulţimii
numerice
q(µ) = {q 1 (µ), q 1 (µ), ..., q n (µ)}, unde q i (µ) = p i(µ)
, i = 1 : n, (4.310)
p i−1 (µ)
ale cărei elemente pot fi calculate cu relaţia recurentă
q i (µ) = f k −µ− g2 i−1
q i−1 (µ) , i = 2 : n, q 1(µ) = f 1 −µ. (4.311)
Pentru situaţiile în care q k−1 = 0 (sau, în general, când apar depăşiri inferioare) se
recomandă calculul lui q k (µ) cu formula
q i (µ) = f i −µ− |g i−1|
ε M
, (4.312)
unde ε M este epsilon maşină al calculatorului utilizat.
Evident, numărul de schimbăride semn al mulţimii p(µ) din (4.306)şi, simultan,
numărul ν(µ) al valorilor proprii ale matricei T mai mici decât µ, este egal cu
numărul de elemente negative al mulţimii q(µ). Mai mult, numărul ν [α,β] al valorilor
proprii ale matricei T situate în intervalul [α, β], este dat de relaţia
ν [α,β] = ν(β)−ν(α). (4.313)
Calculul lui ν(µ) pentru un număr µ dat se face cu următoarea procedură.
ν(µ) 1. ν = 0
2. q = f 1 −µ
3. Dacă q < 0 atunci ν = 1
4. Pentru i = 2 : n
1. Dacă |q| > ε M atunci q ← f i −µ− g2 i−1
q
altfel q ← f i −µ− |g i−1|
ε M
2. Dacă q < 0 atunci ν ← ν +1
În continuare, vom utiliza procedura de mai sus cu sintaxa de apel
ν = ν(f,g,µ).
Vom considera acum problema determinării unei singure valori proprii, mai
precis a valorii proprii λ k , k ∈ 1 : n, din spectrul matricei T, presupus ordonat
crescător, respectiv
λ 1 < λ 2 < ... < λ k < ... < λ n , (4.314)
unde egalităţile nu sunt posibile întrucât T este ireductibilă (vezi exerciţiul 4.63).
Metodabisecţieipentrucalcululvaloriipropriiλ k poatefirezumatăprinurmătoarea
schemă de calcul.