Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 275
rotunjire şi, în consecinţă, se obţine o matrice cu un spectru mai robust dar, posibil,
deja afectat de erori de nivel inadmisibil.
Ţinând seama de aceste observaţii, algoritmii de precondiţionare utilizaţi în
practică au drept obiectiv concret o echilibrare cât mai bună a normelor euclidiene
ale liniilor şi coloanelor cu acelaşi indice prin utilizarea unor matrice de transformarediagonalecarepermitefectuareaunorcalculeexacteînformatulvirgulămobilă
(FVM) al maşinii ţintă. Pentru aceastafie β baza de numeraţie a FVM utilizat 31 şi
D β ⊂ D mulţimea matricelor diagonale de forma D = diag(β σ1 ,β σ2 ,...,β σn ), σ i ∈
∈ Z, i = 1 : n. Întrucât calculul matricei D −1 AD implică numai operaţii de
înmulţire şi împărţire, aceste calcule se efectuează exact 32 şi precondiţionarea matricei
este efectiv utilă pentru îmbunătăţirea preciziei valorilor şi vectorilor proprii
calculaţi.
Pentru prezentarea algoritmului de echilibrare considerăm matricea A ∈ IR n×n
şi scriem
A = A D +A 0 , unde A D = diag(A), (4.163)
i.e. A 0 este matricea elementelor extradiagonale ale lui A. Se constată imediat că
pentru orice matrice D ∈ D avem
D −1 AD = A D +D −1 A 0 D, (4.164)
i.e. elementele diagonalenu sunt afectate de transformărilediagonalede asemănare.
Prin urmare, pentru reducerea normei lui D −1 AD este suficient să acţionăm numai
asupra matricei A 0 . Vom presupune în continuare că matricea A 0 nu are nici o linie
şi nici o coloană nule 33 .
Reducerea ‖D −1 A 0 D‖ F
se face iterativ construind şirul A k , k = 0,1,2,...,
printr-o relaţie recurentă de forma
A k+1 = D −1
k A kD k , (4.165)
cu D k ∈ D β astfel calculat încât ‖A k+1 ‖ F să fie cât mai mică. Vom efectua această
minimizare descompunând matricea D k într-un produs de matrice diagonale elementare
D k = D k1 D k2···D kn , (4.166)
cu D ki = diag(1,1,...,d ki ,...,1) cu d ki = β σ ki
(pe poziţia diagonală (i,i)) şi
maximizând scăderea de normă
δ ki
def
= ‖A ki ‖ F 2 −‖A k,i+1 ‖ F 2 , (4.167)
unde A ki = D k,i−1···D−1 −1
k2 D−1 k1 A kD k1 D k2···D k,i−1 , i = 0 : n − 1, A k0 = A k ,
A kn = A k+1 . Pentru aceasta fie, pentru început, d ki = ν o variabilă reală şi
31 Uzual β = 2, dar se întâlnesc şi situaţii cu β = 10 sau β = 16.
32 Dacă α = (m,e) este reprezentarea în FVM a numărului real α, unde m este mantisa iar e
exponentul, atunci α ∗ β σ = (m,e + σ) şi α/β σ = (m,e − σ) deci este afectat numai exponentul
care, fiind întreg, se calculează exact. Dacă se utilizează un limbaj de programare de nivel înalt
este posibil să fie necesar ca porţiunile de cod pentru efectuarea acestor operaţii să fie scrise în
limbaj de asamblare.
33 În caz contrar se foloseşte algoritmul de permutare Π şi precondiţionarea se aplică unei
matrice de ordin redus.