Calculul valorilor si vectorilor proprii

230 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
este unitară şi
S k = Q H k S k−1 Q k =
[
(k) S 11 S (k)
12
0 S (k)
22
este superior triunghiulară în primele k coloane.
Procesul de triangularizare prin transformări unitare de asemănare, iniţiat conform
pasului 1 ◦ şi continuat conform celor prezentate la pasul k ◦ , produce după
n−1 paşi matricea superior triunghiulară
unde matricea
S = Q H AQ,
Q = Q 1 Q 2 ... Q n−1 , (4.76)
este unitară ca produs de matrice unitare.
Evident, ordinea elementelor diagonale ale matricei S poate fi aleasă în mod
arbitrar prin selectarea corespunzătoare a vectorilor proprii în aplicarea lemei 4.2.
Demonstraţia este completă.
✸
Încheiem paragrafulsubliniind faptul că oricematrice pătrată este unitar asemeneacu
omatricesuperiortriunghiulară. DacămatriceaAeste reală,darareşivalori
proprii complexe, atunci forma Schur S este complexă ca şi matricea de transformare
Q. În acest caz se spune că S este forma Schur complexă (FSC) a matricei A.
]
4.2.2 Forma Schur reală
În majoritateaaplicaţiilor încareestenecesarcalcululvalorilorproprii, matriceaare
elementele reale. În aceste situaţii este mult mai eficientă utilizarea unei aritmetici
reale. Pentru aceasta, perechile de valori proprii complexe şi perechile de vectori
propriiasociaţi(care,dupăcums-amaiprecizat,potficonsideraţi, larândullor,sub
forma unor vectori complex conjugaţi) trebuie şi pot fi tratate în mod unitar, într-o
aritmetică reală, prin intermediul unor blocuri matriceale 2 ×2, respectiv al unor
subspaţii A-invariantereale. Corespondentulformei Schurdin cazulcomplex devine
o matrice cvasi-superior triunghiulară în care perechile de valori proprii complex
conjugate sunt evidenţiate prin blocuri diagonale 2×2, numită forma Schur reală.
În acest context vom formula şi, în măsura încare apar aspecte noi, vom demonstra
corespondentele ”reale” ale lemei 4.2 şi teoremei 4.12.
Lema 4.3 (Deflaţie ortogonală) Fie A ∈ IR n×n .
a) Dacă λ ∈ λ(A)∩IR, atunci există o matrice ortogonală Q ∈ IR n×n astfel încât
[ ]
Q T λ S12
AQ = . (4.77)
0 S 22
b) Dacă λ 1,2 = α±iβ ∈ λ(A), β ≠ 0, atunci există o matrice ortogonală Q ∈ IR n×n
astfel încât
[ ]
Q T S11 S
AQ = 12
, (4.78)
0 S 22