Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.1. FORMULAREA PROBLEMEI 381
relaţie cu care obţinem
ˆQ =
[ ] [
U
H
0 ˜C
0 V H QZ =
˜S
]
, (5.38)
de unde
[ A
F =
B
]
= QR =
[ U 0
0 V
][ ˜C
˜S
] [ U ˜CZ
Z H R =
H R
V ˜SZ H R
]
. (5.39)
În final, datorită nesingularităţii matricei Z H R, din ultima relaţie se obţine diagonalizarea
simultană urmărită a matricelor A şi B, i.e. U H AW = ˜C şi V H BW = ˜S
unde W = R −1 Z. q.e.d.
b) Dacă S este singulară (ceea ce se întâmplă întotdeuna dacă p < n) demonstraţia
decurge asemănător. Elementele diagonale ale lui S din (5.37) fiind ordonate
crescător, S este singulară numai dacă s 1 = ... = s l = 0 pentru un l ≥ 1, i.e. (5.37)
se scrie
Z H Q H 2 Q 2Z = I n −C 2 def
= S 2 =
[ ] 0 0
0 Ŝ 2
(5.40)
cu Ŝ = diag(s l+1,s l+2 ,...,s n ) nesingulară. Notăm X = Q 2 Z ∈ IC p×n şi considerăm
partiţiaX = [X 1 X 2 ]cuX 1 ∈ IC p×l , X 2 ∈ IC p×(n−l) . Din(5.40)avemX1 H X 1 = 0de
unde rezultă X 1 = 0. De asemenea, avem X2 HX 2 = Ŝ2 , deci Ŝ−1 X2 HX2Ŝ−1 = I n−l ,
def
i.e. matricea V 2 = X 2 Ŝ −1 ∈ IC p×(n−l) are coloanele ortogonale. Considerăm şi aici
două situaţii.
b1) În cazul p ≥ n, procedând ca mai sus, i.e. completând V 2 cu matricele
V 1 ∈ IC p×l şi V 3 ∈ IC p×(p−n) până la o matrice unitară V = [V 1 V 2 V 3 ] 11 putem
scrie
˜S def
= V H Q 2 Z=V H X=[0 V H X 2 ]=
⎡
⎣ 0 V 1 H X 2
0 V H
2 X 2
0 V H
3 X 2
⎤
⎡
⎦= ⎣
0 0
0 Ŝ
0 0
⎤
[ S
⎦=
0
] }n
}p−n ,
relaţie cu care se obţine imediat (5.38) şi apoi, cu aceleaşi argumente, (5.33). q.e.d.
b2) În cazul p < n avem, în mod necesar, l ≥ n−p sau n−l ≤ p şi, prin urmare,
completând matricea cu coloanele ortogonale V 2 cu matricea V 1 ∈ IC p×(p−n+l) până
la o matrice unitară V = [V 1 V 2 ] ∈ IC p×p , obţinem
[ ] [ ]
˜S def
0 V
= V H Q 2 Z=V H X=[0 V H H
X 2 ]= 1 X 2 0 0 0
0 V2 HX
= = [ 0 S ]
2 0 0 Ŝ
unde, de această dată, IC p×p ∋ S = diag(s n−p+1 ,s n−p+2 ,...,s n ) cu 0 = s n−p+1 =
= ... = s l < s l+1 ≤ s l+2 ≤ ... ≤ s n , q.e.d. În acest caz elementele s 1 = s 2 =
= ... = s n−p = 0 convenţional introduse nu apar efectiv în structurile matricelor
transformate dar participă la definirea valorilor singulare generalizate infinite.
11 Dacă V 13 ∈ IC p×(p−n+l) este o completare a matricei V 2 până la o matrice unitară, calculată
în modul uzual (vezi observaţia 4.3), atunci V 1 se obţine luând oricare l coloane ale matricei V 13 ,
iar V 3 este definită de celelalte p−n coloane.