Calculul valorilor si vectorilor proprii

302 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
unde
Y = U T XV, ˜C = U T CV. (4.220)
După calculul matricei Y cu algoritmul Bartels-Stewart, matricea necunoscută iniţială
se determină cu relaţia
X = UYV T . (4.221)
Obţinem următorul algoritm.
Algoritmul 4.22 (SYLVr – Rezolvarea ecuaţiei Sylvester reale)
(Date matricele A∈IR m×m , B∈IR n×n , C ∈ IR m×n , cu λ(A)∩λ(B) = ∅,
şi toleranţa tol, algoritmul calculează soluţia X ∈ IR m×n a ecuaţiei
Sylvester continue AX −XB = C prin reducerea matricelor A şi B la
forma Schur reală cu algoritmul QR2 şi utilizarea algoritmului Bartels-
Stewart. Se presupune că algoritmul QR2 se termină normal în ambele
cazuri.)
1. [S, U ] = QR2(A,I m ,tol, ′ da ′ )
2. [T, V ] = QR2(A,I n ,tol, ′ da ′ )
3. C ← ˜C = U T CV
4. Y = BS(S,T,C)
5. X = UYV T
Comentarii. Sintaxa de apel, cu care algoritmul 4.22 va fi utilizat în continuare,
este
X = SYLVr(A,B,C).
Pentru alte aspecte, cum sunt aprecierea complexităţii şi memorarea economică,
vezi comentariile de la algoritmul 4.20.
✸
Observaţia 4.7 Condiţia (4.204), de existenţă şi unicitate a soluţiei ecuaţiei
Sylvester (4.203), sugerează ideea că soluţia este cu atât mai ”robustă” cu cât
spectrele matricelor A şi B sunt mai bine ”separate”. Măsura separării spectrelor
matricelor A şi B este dată de scalarul
‖AV −VB‖ F
sep(A,B) = min
(4.222)
V≠0 ‖V‖ F
(pentru mai multe detalii vezi §4.10). Concret, se poate arăta [54] că soluţia X a
ecuaţiei Sylvester (4.203) satisface condiţia
‖X‖ F ≤ ‖C‖ F
sep(A,B) . (4.223)
Deci, dacă separarea matricelor A şi B este redusă, atunci este posibil ca norma
Frobenius a soluţiei să fie mare.
✸