Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 521
asemănare tip permutare). Vom utiliza inegalitatea Hölder, i.e.
(
n∑ n∑
) 1
p
( n∑
)1
q
|α i||β i| ≤ |α i| p |β i| q , unde p > 1,
i=1 i=1
i=1
1
p + 1 q = 1.
Fie λ ∈ λ(A), x ≠ 0 un vector propriu asociat şi x i = x(i). De asemenea, fie p = 1 şi α
q = 1 . Avem 1−α ∣ ∣∣∣∣∣∣ n∑ n∑ n∑
|λ−a ii||x i| = ∣ a ijx j ≤ |a ij||x j| = |a ij| α (|a ij| 1−α |x j|) ≤
i.e.
sau
≤
⎛
⎜
⎝
n∑
j=1
j≠i
|a ij|
∣
j=1
j≠i
j=1
j≠i
⎞α⎛
⎟ ⎜
n∑
⎠ ⎝ (|a ij| 1−α |x j|) 1
j=1
j≠i
|λ−a ii|
r α i
|x i| ≤
( |λ−aii|
|x i|
r α i
1−α
⎛
⎜
⎝
⎞
⎟
⎠
1−α
= r α i
n∑
|a ij||x j|
j=1
j≠i
) 1
1−α
≤
j=1
j≠i
⎛
⎜
⎝
1
1−α
n∑
(|a ij| 1−α |x j|) 1
j=1
j≠i
⎞
⎟
⎠
n∑
|a ij||x j|
j=1
j≠i
Însumând ultimele inegalităţi în raport cu i obţinem
i.e.
n∑
( |λ−aii|
i=1
r α i
) 1
1−α
k=1
|x i|
1
1−α ≤
r α k
n∑
i=1
n∑
|a ij||x j|
j=1
j≠i
1−α
,
1
1−α.
1
1−α =
(
n∑
( ) )
1
1−α |λ−akk |
1
c k − |x k | 1−α ≥ 0.
n∑
c j |x j|
j=1
1−α
⎞
⎟
⎠
1
1−α,
Evident, în ultima inegalitate, coeficienţii pentru |x k | 1−α nu pot fi toţi negativi. Prin
urmare, există k astfel încât |λ−a kk | ≤ rkc α 1−α
k
, q.e.d.
P4.41 Fie λ ∈ λ(A), x ≠ 0 un vector propriu asociat şi x i = x(i). De asemenea, fie
|x p| = max i=1:n|x i|. Dacă x p este singura componentă nenulă a lui x, atunci λ = a pp şi,
întrucât a ii ∈ D pentru toţi i ∈ 1 : n, rezultă λ ∈ D. Presupunem, în continuare, că x
are cel puţin două componente nenule şi fie x q ≠ 0 cea de a două componentă, în ordinea
descrescătoare a modulelor, i.e. |x p| ≥ |x q| ≥ |x i|, i = 1 : n. i ≠ p,q. Avem
∣ ∣∣∣∣∣∣ n∑ n∑
|λ−a pp||x p| =
a pjx j ≤ |a pj||x q| = r p|x q|,
∣j=1
j≠p
j=1
j≠p
1
1−α
,