Calculul valorilor si vectorilor proprii

526 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
o structură particulară (în afara simetriei) sunt, în general, nenule. De aceea, elementele
nule, obligatorii conform punctului a), apar la sfârşitul procesului de tridiagonalizare.
[ P4.64 Transformările ] [ ortogonale ] [ conservă ][ norma Frobenius. ][ În consecinţă, ] matricele
app a pq a
′
pp a ′ pq c −s app a pq c s
şi =
au aceeaşi normă
a qp a qq s c a qp a qq −s c
a ′ qp
a ′ qq
Frobenius, i.e. a 2 pp + a 2 qq + 2a 2 pq = (a ′ pp) 2 + (a ′ qq) 2 + 2(a ′ pq) 2 . De asemenea, matricele
A şi A ′ = J T AJ au aceeaşi normă Frobenius. Notând cu B, B ′ matricele elementelor
extradiagonale ale matricelor A, respectiv A ′ , şi ţinând seama de faptul că A şi A ′ diferă
numai în liniile şi coloanele p şi q, avem
‖B ′ ‖ 2 F = ‖A ′ ‖ 2 F −
n∑
(a ′ ii) 2 = ‖A‖ 2 F −
i=1
n∑
a 2 ii +a 2 pp +a 2 qq −(a ′ pp) 2 −(a ′ qq) 2 =
i=1
= ‖B‖ 2 −2a 2 pq +2(a ′ pq) 2 .
Prin urmare ‖B ′ ‖ F este minimă dacă a ′ pq = a ′ qp = 0.
P4.65 a) Dacă γ = 0 rezultatul este imediat. Dacă γ ≠ 0 ecuaţia (J T AJ) 11
=
= c 2 α − 2csγ + s 2 β = δ este echivalentă cu cos(2θ + φ) = 2δ−α−β sinφ = √ 2δ−α−β
2γ
(α−β) 2 +4γ 2,
unde θ = arccosc este unghiul ce defineşte rotaţia, iar φ = arcctg α−β . Rezultă că θ există
∣ 2γ dacă şi numai dacă ∣√ ∣∣ 2δ−α−β ≤ 1, i.e. δ ∈ [λ1,λ
(α−β) 2 +4γ 2]. b) Se reduce mai întâi A la
2
forma tridiagonală, după care se utilizează rezultatul de la punctul a).
P4.66 Utilizaţi faptul că matricele antihermitice (antisimetrice) rămân astfel la transformări
unitare (ortogonale) de asemănare.
√
1+4ǫ
P4.67 κ λ1 = κ λ2 =
2
≈ 1 etc. 2ǫ 2ǫ
P4.68 Considerând o matrice de perturbaţie E = ǫG, cu G = e ie T j şi observând că, în
∂λ
acest caz, k
∂a ij
= dλ k(ǫ)
, rezultă expresia dorită.
dǫ
P4.69 Acesta este un exemplu celebru [IV] de matrice cu valori proprii bine separate
şi, totuşi, foarte rău condiţionate. Vectorii proprii la dreapta, respectiv la stânga, asociaţi
valorii proprii λ k = k, au expresiile x k = [ (−n)n−k
(n−k)!
respectiv, y k = [0 0 ··· 0 1 n n2
2!
···
n k−2
(k−2)!
(−n) n−k−1
(n−k−1)!
··· (−n)2
2!
(−n) 1 0 ··· 0] T ρ,
n k−1
(k−1)! ]T τ unde ρ şi τ sunt scalari nenuli arbitrari.
Folosind, pentru simplitate, norma ‖·‖ ∞ rezultă κ k = ‖x k‖ ∞‖y k ‖ ∞
|y T k x k|
=
n n−1
(n−k)!(k−1)!
număr care, pentru un n semnificativ, este foarte mare. Pentru n = 20 avem κ 1 = κ 20 =
= 2019
19! . Folosind formula lui Stirling m! ≈ √ 2πmm m e −m pentru evaluarea factorialului,
se obţine κ 1 = κ 20 ≈ 2019 e 19
19 19√ 38π ≈ 4.329·107 .
P4.70 Acesta este un alt exemplu celebru [IV] de matrice cu o condiţionare foarte
diferenţiată a valorilor proprii: pentru un n semnificativ, valoarea proprie maximă este
foarte bine condiţionată pe când valoarea proprie minimă este foarte rău condiţionată.
a) Se aplică varianta ”simbolică” a eliminării gaussiene. b) Se repetă procedura de la
punctul a). Pentru n = 20 şi ǫ = 10 −10 avem detF = 1−19!·10 −10 ≈ −1.216·10 7 faţă de
1 pentru ǫ = 0.
P4.71 a) Calculaţi valorile proprii λ i, apoi p(λ) = Π(λ−λ i).
b)Această problemăpreocupăde câtevasecole pe matematicieni care au propus zeci de
metode pentru rezolvarea ei. Ultima şi cea mai bună metodă constă în formarea explicită
a unei matrice companion (v. problema 4.18) şi calculul valorilor sale proprii utilizând
algoritmul QR.