Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.9. METODE ALTERNATIVE 333
Demonstraţie. Vom considera numai cazul generic în care toţi p k (µ) sunt nenuli,
lăsând în sarcina cititorului să analizeze cazurile în care unele valori p k (µ) sunt
nule. Pentru demonstraţie vom utiliza inducţia după n. Fie ν n (µ) numărul valorilor
proprii mai mici decât µ şi σ n (µ) numărul schimbărilor de semn din şirul (4.306).
Se verifică imediat că ν 1 (µ) = σ 1 (µ). Presupunem că ν k−1 (µ) = σ k−1 (µ) def
= l. În
ipoteza ordonării crescătoare a valorilor proprii ale submatricelor T [k] rezultă că µ
este situat în intervalul deschis (λ [k−1]
l
,λ [k−1]
l+1
). Acum, datorită separării stricte a
valorilor proprii ale submatricei T [k] de către valorile proprii ale lui T [k−1] (teorema
4.20), sunt posibile următoarele două situaţii
a) µ ∈ (λ [k]
l
,λ [k]
l+1
) sau b) µ ∈ (λ[k]
l+1 ,λ[k] l+2
). (4.307)
În cazul a) avem ν k (µ) = l, iar în cazul b), evident, ν k (µ) = l + 1. Rămâne să
arătăm că în cazul a) perechea (p k−1 (µ),p k (µ)) nu este schimbare de semn, iar în
cazul b) este schimbare de semn. Conform (4.301) putem scrie
k−1
∏
p k−1 (µ) = (λ [k−1]
i −µ), p k (µ) =
i=1
k∏
i=1
(λ [k]
i −µ). (4.308)
Având învederesituarealuiµînraportcuvalorilepropriialecelordouăsubmatrice,
este evident faptul că sgn(λ [k−1]
i − µ) = sgn(λ [k]
i − µ) pentru i = 1 : l precum şi
faptul că sgn(λ [k−1]
i
−µ) = sgn(λ [k]
i+1
−µ) pentru i = l+1 : k −1. Rezultă
sgn(p k (µ)) = sgn(p k−1 (µ))sgn(λ l+1 −µ), (4.309)
de unde obţinem, evident, situaţia necesară a semnelor în cazurile a) şi b). Inducţia
este completă.
✸
Exemplul 4.8 Considerăm matricea tridiagonală T, de ordinul 3, din exemplele
numerice 4.6 şi 4.7, definită de vectorii f = [1 2 1] T şi f = [1 1] T . Spectrul
matricei T este λ(T) = {0, 1, 3}, iar şirul Sturm asociat
p 0 (λ) = 1, p 1 (λ) = −λ+1, p 2 (λ) = λ 2 −3λ+1, p 3 (λ) = −λ 3 +4λ 2 −3λ.
Valorile { proprii
√
ale submatricelor lider principale sunt λ(T [1] ) = {1} şi λ(T [2] ) =
= 3− 5 3+ √ }
5
, , verificându-se imediat şirurile de inegalităţi din (4.305).
2 2
Avem, de asemenea,
p(1) = {1, 0, −1, 0}, p(2) = {1, −1, 2, 1},
i.e. fiecaredinmulţimile p(1)şip(2)arecâtedouăschimbăridesemncarecorespund
cu numerele de valori proprii ale matricei T mai mici sau egale cu 1, respectiv mai
mici decât 2.
✸
Utilizarea teoremei 4.21 ridică probleme dificile în practică [X] datorită frecventelor
depăşiriinferioareşi superioare înformatvirgulămobilă de către valorilep k (µ)
pentru k apropiaţi de n, chiar pentru un ordin n modest. Acest fenomen apare mai