Calculul valorilor si vectorilor proprii

236 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Rezolvarea sistemului liniar din schema de mai sus necesită un efort de calcul apreciat
la ≈ n 3 /3 operaţii scalare în virgulă mobilă de tipul α∗β+γ, ceea ce reprezintă
un preţ foarte ridicat pentru o singură iteraţie a procesului de calcul al unui singur
vector propriu. Din fericire, cel mai adesea metoda se aplică unor matrice având
structura superior Hessenberg ceea ce reduce numărul de operaţii la ≈ n 2 pentru
o iteraţie. Utilizarea unei deplasări constante µ asigură convergenţa către vectorul
propriu asociat valorii proprii dominante a matricei (A−µI n ) −1 , i.e. asociat valorii
proprii a matricei A celei mai apropiate de deplasarea µ.
În continuare prezentăm o versiune importantă a metodei puterii inverse care
utilizează o deplasare µ k variabilă cu pasul k şi optimală într-un sens precizat.
Conform celor arătate mai sus, deplasarea care asigură cea mai mare viteză de
convergenţăesteegală”cu cea mai bună”aproximaţieauneivaloripropriiamatricei
A, disponibilă la pasul respectiv. O modalitate cu excelente rezultate practice este
aceea în care această aproximaţie se obţine rezolvând, în sens CMMP, sistemul
supradeterminat
y (k−1) µ k = Ay (k−1) (4.100)
de n ecuaţii cu necunoscuta scalară µ k , sistem obţinut prin ”actualizarea”, pentru
pasul curent, a relaţiei asimptotice y (∞) µ ∞ = Ay (∞) , care este chiar relaţia de
definiţie a valorilor şi vectorilor proprii. Pseudosoluţia în sens CMMP a sistemului
(4.100) (vezi cap. 3) este aşa numitul cât Rayleigh al perechii (A,y (k−1) ) definit de
µ k = (y(k−1) ) H Ay (k−1)
‖y (k−1) ‖ 2 = (y (k−1) ) H Ay (k−1) . (4.101)
Având în vedere faptul că această aproximare este din ce în ce mai bună rezultă că
viteza de convergenţă a şirului (y (k) ) k∈IN este din ce în ce mai ridicată. Concret, se
poate demonstra că are loc aşa-numitaconvergenţă pătratică, i.e. există o constantă
τ astfel încât
‖y (k+1) −γx 1 ‖ ≤ τ‖y (k) −γx 1 ‖ 2 . (4.102)
Criteriile practice de trunchiere a şirului construit prin metoda puterii inverse sunt
aceleaşi cu cele utilizate în cadrul algoritmului 4.1. Cu aceste precizări prezentăm
algoritmul de implementare a metodei puterii inverse cu deplasările (4.101).
Algoritmul 4.2 (Metoda puterii inverse cu deplasare Rayleigh)
(Dată o matrice A ∈ IC n×n , un nivel de toleranţă tol ∈ IR, tol < 1, şi un
numărmaxim admismaxiter de iteraţii, algoritmulcalculeazăun vector
propriu unitar y al matricei date sau tipăreşte un mesaj dacă obiectivul
nu a fost atins în numărul admis de iteraţii.)
1. Se alege aleator un vector y ∈ IC n .
2. y ← y/‖y‖
3. i = 0, e = 1
4. C^at timp e > tol
1. Dacă i > maxiter atunci
1. Tipăreşte ’S-a atins numărul maxim de iteraţii fără a se
fi obţinut nivelul prescris al toleranţei.’