Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.4. ALGORITMUL QR 243
prezentări clare a procedurilor care utilizează algoritmul HQc. De exemplu, apelul
[A,U ] = HQc(A,I n , ′ da ′ ) calculează, pe loc, reducerea la forma Hessenberg şi
creează matricea de transformare din (4.104).
În cazul real reflectorii utilizaţi vor fi reali şi, în consecinţă, matricea Hessenberg
rezultată va fi reală. Întrucât această particularizare se obţine pur şi simplu
înlocuind identificatorii procedurilor ”complexe” cu cei ai procedurilor ”reale” corespunzătoare,
ne mărginim să precizăm sintaxa de apel cu care această variantă va
fi folosită în continuare:
[H,V ] = HQr(A,Q,opt).
Complexitatea algoritmului este O(n 3 ), execuţia sa implicând N op ≈ 10n 3 /3
operaţii cu numere complexe în format virgulă mobilă. Acumularea matricei de
transformare necesită N ′ op ≈ 4n3 /3 operaţii suplimentare. Algoritmul HQ este numeric
stabil, i.e. matricea superior Hessenberg calculată într-o aritmetică în virgulă
mobilă este o matrice exact unitar (ortogonal) asemenea cu o matrice uşor perturbată
A+E, unde matricea de perturbaţie E satisface condiţia ‖E‖ ≤ p(n)ε M ‖A‖,
cu p(n) o funcţie cu creştere ”modestă” de dimensiunea n a problemei. ✸
Observaţia 4.4 Pentru obţinerea formei Hessenberg se pot utiliza şi transformări
deasemănareneunitare(neortogonale). Într-adevăr,folosindtransformărigaussiene
elementare stabilizate M k P k , k = 2 : n − 1, unde M k este o matrice inferior triunghiulară
elementară, iar P k este o matrice de permutare elementară (v. cap.2),
determinate corespunzător pentru anularea elementelor k +1 : n din coloana k −1
a matricei curente, matricea
H = M n−1 P n−1 ...M 2 P 2 AP 2 M −1
2 ...P n−1 M −1
n−1
va fi superior Hessenberg. O implementare îngrijită a secvenţei de transformări de
mai sus conduce la un efort de calcul redus la jumătate faţa de cel necesar pentru
execuţia algoritmului HQ. Detaliile algoritmului fac obiectul exerciţiului 4.50.
Anumite reţineri existente în utilizarea acestei soluţii sunt datorate unor posibile
instabilităţi numerice (a căror existenţă este dovedită teoretic, dar care apar foarte
rar în practică) precum şi unor dificultăţi în analiza erorilor, dificultăţi induse de
faptul că transformările neunitare (neortogonale) nu conservă condiţionarea valorilor
proprii.
✸
4.4.2 Faza iterativă a algoritmului QR
Etapa iterativă a algoritmului QR utilizează, într-o manieră implicită, metodele
puterii şi puterii inverse pentru reducerea unei matrice la forma Schur (reală). Deşi
implementările profesionale ale algoritmului QR utilizează, în exclusivitate, din
motive de eficienţă calculatorie (în cazul matricelor reale), varianta cu deplasare
implicită cu pas dublu, din raţiuni pedagogice vom prezenta şi variantele cu deplasare
explicită.