Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.3. METODA PUTERII. METODA PUTERII INVERSE 235
Comentarii. Având în vedere simplitatea relaţiei de recurenţă, metoda puterii
se poate dovedi atractivă dacă se cunoaşte apriori existenţa unei valori proprii net
dominante. În caz contrar, viteza de convergenţă poate fi nesatisfăcătoare, iar în
cazul absenţei unei valori proprii dominante şirul poate fi divergent. De aceea,
folosind rezultatele lemei 4.4, trebuie realizate transformări ale matricei A care,
fără a afecta vectorii proprii, să creeze o astfel de valoare proprie (net) dominantă.
O posibilitate este de a utiliza o ”deplasare” µ (eventual variabilă µ k ) a spectrului
matricei A astfel încât matricea A−µI n să aibă o valoare proprie (net) dominantă.
În acest caz schema de calcul pentru o iteraţie a metodei puterii cu deplasare devine
MP’ 1. Pentru k = 1,2,...
1. Se calculează vectorul y (k) = (A−µ k )y (k−1) .
2. y (k) ← y (k) /‖y (k) ‖.
Din nefericire, determinarea deplasării µ k efectiv utile nu este deloc simplă, motiv
pentru care această idee este folosită în paragraful următor pentru rezolvarea
aceleiaşi probleme într-un context modificat.
✸
4.3.2 Metoda puterii inverse
Presupunem din nou că matricea A ∈ IC n×n este simplă având valorile proprii λ i ,
i = 1:n (nu neapărat într-o ordine anumită) şi vectorii proprii asociaţi x i , i = 1 : n.
Fieµ ∉ λ(A)oaproximaţiealuiλ 1 . Atunci, conformlemei4.4,matricea(µI n −A) −1
are valorile proprii (µ−λ i ) −1 , i = 1 : n, şi aceiaşi vectori proprii cu cei ai matricei
A. Prin urmare, dacă alegem un vector iniţial y (0) nedefectiv în raport cu x 1 , i.e.
satisfăcând (4.89) şi (4.90), putem defini, utilizând metoda puterii pentru matricea
(µI n −A) −1 , şirul de vectori unitari
y (k) = ρ k (µI −A) −1 y (k−1) , k = 1,2,... (4.98)
unde ρ k este un factor scalar de normare. Acum, dacă deplasarea µ este mult mai
apropiată de λ 1 decât de λ i , i = 2 : n, atunci |(µ − λ 1 ) −1 | va fi mult mai mare
decât |(µ−λ i ) −1 |, i = 2 : n, i.e.,
max i=2:n |(µ−λ i ) −1 |
|(µ−λ 1 ) −1 |
≪ 1, (4.99)
şi, în consecinţă şirul (y (k) ) este foarte rapid convergent către γx 1 .
Relaţia de recurenţă(4.98) defineşte metoda puterii pentru matricea(µI n −A) −1
şi este cunoscută sub denumirea de metoda puterii inverse cu deplasare pentru
matricea A. Desigur, pentru calculul iteraţiei (4.98) nu se inversează matricea
µI n −A ci se rezolvă sistemul liniar corespunzător, conform următoarei scheme de
calcul, definitorie pentru o iteraţie a metodei puterii inverse.
MPI 1. Pentru k = 1,2,...
1. Se rezolvă sistemul (µI n −A)y (k) = y (k−1) în raport cu y (k) .
2. y (k) ← y (k) /‖y (k) ‖.