Calculul valorilor si vectorilor proprii

366 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
P 4.51 Presupunem A ∈ IC n×n şi z ∈ IC n date. Elaboraţi un algoritm pentru calculul unei
matrice unitare (în cazul real, ortogonale) Q astfel încât Q H AQ este superior Hessenberg
şi Q H z este coliniar cu vectorul e 1.
P 4.52 Fie H ∈ IR n×n o matrice superior Hessenberg. Scrieţi un algoritm care să testeze
dacă H este în formă Schur reală.
P 4.53 Elaboraţi un algoritm pentru calculul valorilor şi vectorilor proprii ai matricei
A = I n +uv H , unde u,v ∈ IC n sunt vectori nenuli daţi.
P 4.54 Se consideră dată o pereche (valoare proprie, vector propriu asociat)= (λ,x) reală
a unei matrice H ∈ IR n×n superior Hessenberg. Elaboraţi un algoritm de calcul [ al unei ]
λ f
matrice ortogonale Q astfel încât matricea Q T HQsa aibă structuraQ T T
HQ = ,
0 G
unde matricea G ∈ IR (n−1)×(n−1) este în formă superior Hessenberg.
P 4.55 Fie matricea superior Hessenberg H ∈ IR n×n şi următoarea procedură recurentă
de calcul al matricei succesor H ← H ′ :
1. Se aplică matricei H procedura de triangularizare prin eliminare gaussiană cu pivotare
parţială M n−1P n−1...M 1P 1H = R, unde P k sunt matrice de permutare
elementare, M k matrice inferior triunghiulare elementare, iar R este o matrice superior
triunghiulară.
2. H ← H ′ = RP 1M −1
1 ...P n−11M −1
n−1 ,
care defineşte o iteraţie a algoritmului LR modificat (un precursor al algoritmului QR).
Arătaţi că matricea succesor H ′ a) are o structură superior Hessenberg şi b) este asemenea
cu matricea H.
P 4.56 Se consideră matricea bloc superior triunghiulară
A =
[
A11 A 12 A 13
]
0 A 22 A 23 ,
0 0 A 33
cu A 22 ∈ IR 2×2 având valori proprii complexe şi distincte de valorile proprii ale matricelor
A 11 şi A 33. Se cere să se calculeze un subspaţiu A-invariant real asociat valorilor proprii
ale matricei A 22, i.e. vectorii liniar independenţi x 1,x 2 ∈ IR n care să formeze o bază a
acestui subspaţiu.
P 4.57 Calculaţi valorile şi vectorii proprii pentru matricele simetrice A, B şi pentru
matricea hermitică C, unde
A =
[
1 2
2 3
]
, B =
[ 1 2 3
2 4 5
3 5 6
Verificaţi că vectorii proprii sunt ortogonali.
]
, C =
[
1 1+i −i
1−i 2 −1−i
i −1+i 3
P 4.58 Fie o matrice hermitică A = A H ∈ IC n×n . Adaptaţi algoritmul TQ pentru
tridiagonalizarea unitară a matricei A astfel încât matricea T = Q H AQ să fie tridiagonală,
simetrică şi reală.
]
.