Calculul valorilor si vectorilor proprii

438 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
şi se atinge pentru
⎧
⎨ ˜bi
, i = 1 : r
ŷ i =
A
σ
⎩ i
0, i = r A +1 : n,
(5.198)
componentele nule fiind alese în vederea satisfacerii restricţiei. Prin urmare, dacă
pentru y = ŷ restricţia este satisfăcută, i.e.
‖y‖ 2 =
m∑
i=r A+1
|˜b i | 2
σ 2 i
≤ γ 2 , (5.199)
atunci soluţia y ∗ = ŷ menţionată este optimală şi soluţia problemei iniţiale este
x ∗ = Vy ∗ . Dacă
m∑ |˜b i | 2
σi
2 > γ 2 , (5.200)
i=r A+1
atunci, procedând ca în cazul general, soluţia optimală a problemei CMMP (5.195)
este definită de ⎧
⎨ σ i˜bi
yi ∗ =
⎩
σi 2 +λ∗, i = 1 : r A
(5.201)
0, i = r A +1 : n,
unde λ ∗ este soluţia pozitivă a ecuaţiei seculare
r A
∑
i=1
( ) 2
σ i |˜b i |
σi 2 +λ −γ 2 = 0. (5.202)
Soluţia problemei CMMP iniţiale este, evident, x ∗ = Vy ∗ .
Rezumăm cele arătate mai sus într-un algoritm.
Algoritmul 5.11 (CMMP RPB – Soluţia problemei CMMP cu
restricţii pătratice tip bilă) (Se consideră date matricea A ∈ IC m×n , cu
m > n, şi vectorul b ∈ IC m , care definesc problema CMMP, precum şi
scalarul γ > 0 care defineşte restricţia (5.194). De asemenea, pentru
evaluarea rangului, este utilizată toleranţa tol. Algoritmul calculează
soluţia x = x ∗ a problemei CMMP cu restricţii (5.155), (5.194).)
1. [U,Σ,V ] = DVS(A, ′ da ′ , ′ da ′ )
2. r = Rang DVS(Σ,tol)
3. b ← U H b
4. ρ = ∑ r |b i | 2
i=1
σi
2
5. Dacă ρ ≥ γ 2 atunci
1. Se calculează vectorul y ∗ ∈ IC n definit în (5.198).
altfel
1. Se calculează soluţia λ ∗ a ecuaţiei seculare (5.202).