Calculul valorilor si vectorilor proprii

518 INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII
Q −1 x = 1 x. Rezultă Rx = r(λ)x.
q(λ)
P4.14 Dacă valorile proprii ale matricei A sunt numerotate în ordinea descrescătoare
a modulelor, atunci avem ρ(A) = |λ 1|, ρ(A −1 ) = 1/|λ n|. Apoi se aplică teorema 4.10.
P4.15 a) Pentru matricele nilpotente, λ ∈ λ(A) ⇒ λ k ∈ λ(0), i.e. λ k = 0, i.e. λ = 0.
b) Pentru matricele idempotente, fie x cu ‖x‖ = 1, un vector propriu al matricei A asociat
valorii proprii λ. Din x H A 2 x = x H Ax rezultă λ 2 = λ, i.e. λ ∈ {0,1}.
P4.16 a) Câte unul singur în ambele cazuri. b) Dacă o celulă Jordan de ordin n ar fi
diagonalizabilă, atunci ar avea n vectori proprii liniar independenţi ceea ce ar contrazice
a). c) Avem J λ = λI n +J 0. Cum matricea unitate comută cu orice altă matrice, pentru
calculul matricei Jλ k se poate utiliza formula binomului lui Newton, în care se ţine seama
de faptul că J0 i este o matrice care are elementele de pe supradiagonala i egale cu unitatea,
iar toate celelalte elemente sunt nule. Dacă λ ≠ 0, Jλ k nu este diagonalizabilă pentru nici
un k ∈ IN ∗ . J0 k = 0, deci diagonală, pentru orice k ≥ n. d) Se rezolvă ecuaţia XJ λ = I n
care, scrisă pe coloane, se reduce la rezolvarea sistemelor liniare λx 1 = e 1, x j−1+λx j = e j,
j = 2 : n (în această ordine!). Nu.
P4.17 Fie ˜H(λ) = H − λI n. Matricea ˜H 21(λ) def
= ˜H (2:n,1:n−1) (λ) este nesingulară
∀λ ∈ IC, deci rang ˜H(λ) ≥ n − 1, ∀λ ∈ IC. În particular, H = ˜H(0) şi, prin urmare,
rangul lui H nu poate fi decât n sau n−1. Vectorii proprii x asociaţi unei valori proprii
λ ∈ λ(H) trebuie să satisfacă ˜H(λ)x = 0, de unde rezultă x(1 : n−1) = v(λ)x n cu v(λ) =
−1
= ˜H 21 (λ) ˜H (2:n,n) (λ), i.e. toţi vectorii proprii asociaţi lui λ sunt de forma x = ρ[v T (λ) 1] T
cu ρ ∈ IC \ {0} arbitrar, indiferent de ordinul de multiplicitate algebrică a lui λ. Deci,
multiplicitatea geometrică a unei valori proprii a unei matrice Hessenberg ireductibile nu
poate fi decât 1 şi, prin urmare, o astfel de matrice cu valori proprii multiple nu este
diagonalizabilă.
P4.18 a) Se calculează det(λI n − C), e.g. prin dezvoltare după elementele primei
linii. b) C este nesingulară dacă şi numai dacă 0 ∉ λ(C), i.e. p(0) = p n ≠ 0. Pentru
calculul inversei recomandăm rezolvarea ecuaţiei matriceale CX = I n pe blocuri definite
convenabil sau considerarea unei permutări F = PC a liniilor astfel încât matricea F este
inferior triunghiulară, apoi C −1 = F −1 P. c) Fie x un vector propriu al matricei C asociat
valorii proprii λ. Considerând x n ≠ 0, e.g. x n = 1 rezultă x k = λ n−k . Obţinem o matrice
a vectorilor proprii de tip Vendermonde care este nesingulară dacă şi numai dacă valorile
proprii sunt distincte, singura situaţie în care C este diagonalizabilă. La acest ultim rezultat
se ajunge şi observând că matricea C are o structură superior Hessenberg ireductibilă
şi aplicând rezultatul problemei precedente. Pentru calculul unui vector propriu al matricei
C T asociat aceleeaşi valori proprii, presupuneţi x 1 ≠ 0 şi rezolvaţi sistemul. Se obţine
x k = λ k−1 +p 1λ k−2 +··· +p k−1 . d) Mai sunt două structuri cu coeficienţi polinomului
pe ultima linie, respectiv, pe ultima coloană, în ordine inversă.
P4.19 a) O matrice reală de rotaţie plană P jk (i.e. în planul (j,k)), de ordinul n,
definită de scalarii c şi s are, evident, n − 2 valori proprii egale cu 1, celelalte două fiind
λ j,k = c ± is. Putem lua e l drept vectori proprii asociaţi valorilor proprii λ l = 1. Dacă
s ≠ 0, x j,k = e j ± ie k sunt vectori proprii asociaţi valorilor proprii complexe. b) Un
reflector elementar real U = I n − 2uu T cu u ∈ IR n , ‖u‖ = 1, fiind simetric are toate
valorile proprii reale şi fiind ortogonal are toate valorile proprii de modul 1. Deci valorile
proprii sunt 1 sau −1. Fie acum un reflector elementar V astfel încât V T u = e 1. Avem
V T UV = I n − 2e 1e T 1 = diag(−1,1,...,1), i.e. există o singură valoare proprie egală cu
−1. Un set complet de vectori proprii este dat de coloanele lui V.
P4.20 Presupunem că matricea normală A este triunghiulară. Avem A = UΛU H
cu U unitară şi Λ diagonală. Atunci A H = U¯ΛU H . Rezultă a ij = λ iU(i,:)(Ū(j,:)) T şi
ā ji = ¯λ iU(i,:)(Ū(j,:))T , unde λ i = Λ(i,i). Deci, dacă a ij = 0, atunci şi a ji = 0. Pentru