Calculul valorilor si vectorilor proprii

382 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Încazulreal,toatetransformărileparţialepotfialeserealeşi, înconsecinţă,toate
rezultatele parţiale ca şi cele finale sunt reale. Cu această observaţie demonstraţia
este completă.
✸
Observaţia 5.2 DVSG poate fi definită şi în situaţia în care KerA∩KerB ≠ {0},
i.e. matricea F din (5.36) nu este monică. În acest caz, utilizând triangularizarea
unitară cu pivotarea coloanelor (vezi cap. 3), obţinem
[ ]
A
F = = Q [ R T ] P
B
T ,
unde Q ∈ IC (m+p)×k cu k < n are coloanele ortogonale, R ∈ IC k×k este superior
triunghiulară nesingulară iar P ∈ IR n×n este o matrice de permutare. Aplicând
teorema de mai sus matricei G = QR ∈ IC (m+p)×k , e.g. în cazul cu matricea S ∈
∈ IR k×k nesingulară, conform (5.39), obţinem
G = QR =
[
U ˜C
V ˜S
şi, deci,
[ ] A
=G [ I
B k R −1 T ] [ ] U ˜C [
P T =
V ˜S
˜W−1 ˜W−1 R −1 T ] [ ] U[ ˜C 0]
P T =
V[ ˜S W −1
0]
[ ] ˜W−1
unde W = P
˜W−1 R −1 −1
T
este o matrice n×n nesingulară (M fiind o
0 M
matricenesingulară(n−k)×(n−k) arbitrară”decompletare”). Rezultăurmătoarea
formă a relaţiei (5.33)
[ ] [ ]
U H C 0
AW = , V
0 0
H S 0
BW = , (5.41)
0 0
]
˜W −1
cele n−k coloane nule corespunzând subspaţiului KerA∩KerB.
AmvăzutcăvalorilesingulareordinarealeuneimatriceAsuntrădăcinilepătrate
alevalorilorpropriialematricelorhermiticepozitivsemidefiniteA H AsauAA H (vezi
teorema 5.2). Se poate stabili o legătură similară şi între valorile singulare generalizate
şi valorile proprii generalizate ale unui fascicol hermitic pozitiv semidefinit
12 . Concret, avem următorul rezultat pe care îl formulăm utilizând noţiuni din
capitolul următor şi, din acest motiv, demonstraţia este omisă.
Teorema 5.5 Fie dată o pereche de matrice (A,B), A ∈ IC m×n , B ∈ IC p×n şi
fascicolul matriceal hermitic pozitiv semidefinit F = {A H A − λB H B |λ ∈ IC} cu
valorile proprii generalizate Λ = {λ 1 ,λ 2 ,...,λ n }, λ i ∈ IR + ordonate descrescător.
Atunci numerele σ i = √ λ i sunt valorile singulare generalizate ale perechii (A,B).
12 Un fascicol matriceal F = {G −λH | λ ∈ IC} definit de perechea (G,H) se numeşte hermitic
(în cazul real, simetric), pozitiv semidefinit dacă matricele G şi H sunt hermitice (simetrice), iar
matricea H şi pozitiv semidefinită.
✸