Calculul valorilor si vectorilor proprii

INDICAŢII, RĂSPUNSURI, SOLUŢII 531
Cap. 6. Calculul valorilor proprii generalizate
P6.1 a) Se observă că scăzând prima linie din celelalte două şi apoi adunând linia
[ ] 2 4 5
a doua la a treia obţinem perechea echivalentă Ā = PAR = 0 1 3 , ¯B = PBR =
0 0 0
[ ]
[ ]
1 1 1
1 0 0
= 0 α−1 2 , unde matricele de transformare sunt P = −1 1 0 şi R = I 3.
0 0 β
−2 1 1
Ecuaţia caracteristică a fascicolului este (2−λ)(1−(α−1)λ)βλ = 0. Prin urmare, dacă
β = 0, atunci fascicolul este singular, dacă β ≠ 0 şi α = 1, atunci λ(A,B) = {0,2}, iar
1
dacă β ≠ 0 şi α ≠ 1 avem λ(A,B) = {0,2,
α−1 }. b) De exemplu, x = [1 0 0]T este un
vector propriu generalizat asociat valorii proprii λ = 2, iar x T Bx = 1 ≠ 0 oricare ar fi α şi
β. Pe de altă parte x = [7 −6 2] T este un vector propriu generalizat asociat valorii proprii
λ = 0 şi x T Bx = 0 dacă 48α + 4β − 55 = 0; cum det(B) = (α − 1)β există o infinitate
de valori pentru α şi β astfel încât x T Bx = 0 şi det(B) ≠ 0, e.g. pentru α = −1/48,
β = 14. c) Primele două coloane ale matricei R, i.e. e 1, e 2, formează o bază ortogonală a
subspaţiului de deflaţie bidimensional S al perechii (A,B) asociat valorilor proprii generalizate
λ 1 = 2 şi λ 2 = 1
α−1 = 1 întrucât subspaţiul V = AS +BS = Im(P−1 )(:,1 : 2)
are dimensiunea 2.
P6.2 Fie U 1 = U(:,1 : r), U 2 = U(:,r + 1 : n) şi, similar, V 1 = V(:,1 : r),
V 2 = V(:,r+1:n). Notăm P = U T 1AV 1, Q = U T 1AV 2, R = U T 2AV 1 şi S = U T 2AV 2. Perechea
(A,B) este echivalentă cu perechea (U T AV,Σ) i.e. ecuaţia caracteristică a fascicolului
definit de perechea (A,B) este det(U T AV − λΣ) = 0. Dacă S este nesingulară, atunci
ecuaţia caracteristică devine det(P − QS −1 R − λΣ 1) = 0 i.e. fascicolul are r ≥ 1 valori
proprii generalizate finite. Deci S este singulară.
P6.3 Matricele A,B fiind unitare, matricea AB −1 = AB H este şi ea unitară. Deci,
toate valorile proprii generalizate sunt de modul unitar (în cazul real ±1).
P6.4 Întrucât B şi A−µB sunt nesingulare avem succesiv λ(B,B(A−µB)−1 B) =
= λ((A−µB)B −1 )) = λ(AB −1 −µI n) = λ(AB −1 )−µ = λ(A,B)−µ.
P6.5 Se procedează exact ca la algoritmul HTQZc dar se utilizează în exclusivitate
transformări reale.
P6.6 Vectorii proprii generalizaţi ai perechii (A,B) coincid cu vectorii proprii ai
matricei F = B −1 A. Metoda puterii pentru calculul iterativ al unui vector propriu al
matricei F = B −1 A cu deplasarea curentă µ k utilizează iteraţia (vezi cap. 4) x k+1 =
(F−µ k I n)x k , k = 1,2,... echivalentăcurezolvarea sistemuluiliniar Bx k+1 = (A−µ k B)x k ,
k = 1,2,.... Dacă y este un vector propriu al matricei G = AB −1 , atunci x = B −1 y
este vector propriu al perechii (A,B). Iteraţia metodei puterii pentru matricea G este
echivalentă cu rezolvarea aceluiaşi sistem liniar. Convergenţa metodei este condiţionată
(pentru µ k = 0) de existenţa unei valori proprii generalizate dominante.
Metoda puterii inverse pentru calculul iterativ al unui vector propriu al matricei F =
= B −1 A cu deplasarea curentă µ k presupune rezolvarea la fiecare iteraţie a sistemului
(vezi cap.4) (F −µ k I n)x k+1 = x k , k = 1,2,... echivalentă cu rezolvarea sistemului liniar
(A−µ k B)x k+1 = Bx k , k = 1,2,.... În acest caz deplasarea recomandată este cea a câtului
Rayleigh i.e. µ k = xH k Fx k
x H k x . Schema de calcul este următoarea.
k
MPIG 1. Se alege aleator un vector x ∈ IC n de normă unitară.
2. k = 1, eps = 1