Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.1. FORMULAREA PROBLEMEI 217
Pasul k ◦ . Presupunem că am construit un set de k < n vectori proprii ortogonali
x 1 , x 2 , ... ,x k ai matricei normale A (şi, simultan, ai matricei A H ). Subspaţiul
S k = Im[x 1 x 2 ... x k ] este simultan A-invariant şi A H -invariant. Cu aceleaşi argumente,
complementul său ortogonal T k = S ⊥ k în ICn este, de asemenea, simultan A-
şi A H -invariant. În consecinţă, matricele A şi AH admit un vector propriu(normat)
comun x k+1 ∈ T 1 , i.e. ortogonal cu x 1 , x 2 , ... ,x k :
Ax k+1 = λ k+1 x k+1 , A H x k+1 = ¯λ k+1 x k+1 , ‖x k+1 ‖ = 1, x k+1 ⊥ S k .
Procesul recurent de construcţie a vectorilor proprii ortogonali conduce după k =
= n−1paşiladeterminareaunui setortogonalcompletdevectoripropriiaimatricei
A şi, simultan, ai matricei A H . Notând cu Q matricea vectorilor proprii, implicaţia
directă este demonstrată.
Reciproc, presupunem că matricea A admite un set complet de vectori proprii
ortogonali x i , i ∈ 1 : n, respectiv o matrice unitară Q def
= X = [x 1 x 2 ··· x n ] de
vectori proprii. Avem
de unde rezultă
X H AX = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ) ∈ IC n×n ,
X H A H X = ¯Λ.
Din ultimele două relaţii avem Λ¯Λ = ¯ΛΛ = X H AA H X = X H A H AX, i.e. AA H =
= A H A şi teorema este complet demonstrată. ✸
Observaţia 4.1 Demonstraţiaprezentatămaisusevidenţiază,printrealtele,următoarele
proprietăţi suplimentare ale matricelor normale:
1 ◦ Dacă A este normală, atunci matricele A şi A H au aceiaşi vectori proprii.
2 ◦ Dacă S este un subspaţiu A-invariant, atunci şi complementul său ortogonal
în IC n este A-invariant.
✸
Teorema 4.2 O matrice n × n complexă A este hermitică dacă şi numai dacă
admite un set complet de n vectori proprii ortogonali şi toate valorile proprii sunt
reale adică există o matrice unitară Q, ale cărei coloane sunt vectori proprii, astfel
încât
Q H AQ = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ) ∈ IR n×n . (4.22)
Altfel spus, matricele hermitice sunt matricele unitar diagonalizabile cu spectru real.
În cazul real matricea A este simetrică dacă şi numai dacă admite un set complet
de n vectori proprii ortogonali reali şi toate valorile proprii sunt reale adică există
o matrice ortogonală Q, ale cărei coloane sunt vectori proprii, astfel încât
Q T AQ = Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,...,λ n ) ∈ IR n×n , (4.23)
i.e. matricele reale simetrice 7 sunt matricele ortogonal diagonalizabile cu spectru
real.
7 Matricele complexe simetrice sunt matrice cu multe proprietăţi esenţial diferite de cele ale
matricelor hermitice sau ale matricelor reale simetrice (vezi [I], [II] şi exerciţiul 4.31).