Calculul valorilor si vectorilor proprii

318 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
1. Pentru k = 1 : n−2
1. % Calculul reflectorului elementar Ūk+1
1. [A(k +1 : n,k),ū,β] = Hr(A(k +1 : n,k))
2. % Calculul A ← (U k+1 A)U k+1 numai în triunghiul inferior
1. Pentru i = 1 : n−k −1
1. l = k +i
A(l,k+1: l)ū(1:i)+A(l+1: n,l)ū(i+1: n−k)
2. v i =
2. v n−k =
A(n, k +1 : n)ū
β
3. ρ = ūT v
2β
4. w = v −ρū
5. Pentru j = 1 : n−k
1. Pentru i = j : n−k
1. A(k +i,k+j) ← A(k +i,k+j)−ū i w j −w i ū j
3. % Acumularea transformărilor
1. Dacă opt = ′ da ′ atunci
1. Q(:,k +1 : n) = Hrd(Q(:,k +1 : n),ū,β)
2. % Extragerea vectorilor f şi g
1. f 1 = A(1,1)
2. Pentru i = 1 : n−1
1. g i = A(i+1,i)
2. f i+1 = A(i+1, i+1).
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului TQ va fi
[f,g,Q] = TQ(A,Q,opt).
Utilizarea relaţiei de calcul (4.276) reduce efortul de calcul la mai puţin de jumătate
în raport cu cazul nesimetric. Într-adevăr, calculul vectorilor v şi w la pasul curent
k necesită N 1 (k) ≈ (n−k) 2 flopi şi, respectiv N 2 (k) ≈ (n−k) flopi. Cum determinarea
elementelor definitorii ale reflectorilor necesită, de asemenea, N 3 (k) ≈
≈ (n−k) flopi, rezultă că numărul asimptotic de flopi necesari pentru calculul
tridiagonalizării este
n−2
∑
N op ≈ N 1 (k) ≈ 2 3 n3 ,
k=1
faţă de 5 3 n3 flopi necesari pentru reducerea la forma superior Hessenberg în cazul
nesimetric. Acumularea transformărilor, i.e. calculul explicit al matricei de transformare
Q din (4.274), implică efectuarea a N ′ op ≈ 2 3 n3 flopi suplimentari 49 . Volu-
49 Dacă matricea Q iniţială este I n, se poate obţine o reducere a numărului de operaţii încalculul
acumulării transformărilor dacă se memorează (economic) elementele definitorii ale reflectorilor şi
acumularea se face în afara ciclului principal, în ordine inversă, cu exploatarea structurii de zerouri
a matricei Q curente.
β