Calculul valorilor si vectorilor proprii

466 CAPITOLUL 6. VALORI ŞI VECTORI PROPRII GENERALIZAŢI
fazei iterative a algoritmului QZ este determinant asigurată de reducerea preliminară
a perechii (A,B) la forma Hessenberg generalizată folosind algoritmii HTQZc
sau HTQZr şi de conservareaacestei structuri de iteraţiile QZ. Pentruasublinia în
mod imperativ acest lucru, în continuare vom presupune această reducere efectuată
şivomfolosinotaţiagenerică(H,T)pentruperecheacurentă,deşi,natural,oriceimplementare
îngrijită utilizează suprascrierea perechii (A,B) iniţiale. De asemenea,
pentru situaţiile în care matricea B (i.e. T) este singulară vom presupune efectuată
şi evidenţierea valorilor proprii generalizate infinite cu ajutorul algoritmului DZc
sau DZr.
Nu vom mai dezvolta aici variantele cu deplasare explicită ci ne vom limita la
variantele profesionale cu deplasare implicită cu pas simplu pentru cazul datelor
complexe, respectiv cu pas dublu pentru cazul datelor reale.
Fie dată perechea (H,T) ∈ IC n×n × IC n×n în formă Hessenberg generalizată şi
presupunem că matricea T este nesingulară. Având în vedere observaţia de mai sus,
privitoarela substratul conceptual al iteraţiilor QZ, pentru implementarea unui pas
QRcudeplasareimplicităpentrumatriceaG = HT −1 avemnevoie, pentruautiliza
teorema 4.15, ca matricea superior Hessenberg G să fie ireductibilă (i.e. cu toate
elementele subdiagonale nenule). Este uşor de văzut (v. exerciţiul 6.8) că această
condiţie este îndeplinită dacă şi numai dacă H este ireductibilă. În acest context,
vom spune că perechea (H,T) se află în formă Hessenberg generalizată ireductibilă
dacă H este ireductibilă şi T este nesingulară.
Pentru a evidenţia ”părţile” ireductibile 14 ale perechii (H,T) vom partiţiona
matriceleH şi T înacordcu zerourilesubdiagonalealematricei superiorHessenberg
H. Astfel, dacă H are un singur zero subdiagonal în poziţia (k + 1,k), atunci
considerând partiţia
[ ] [ ]
H11 H
H = 12 T11 T
, T = 12
, (6.47)
0 H 22 0 T 22
avem perechile (H 11 ,T 11 ) ∈ IC k×k ×IC k×k şi (H 22 ,T 22 ) ∈ IC (n−k)×(n−k) ×IC (n−k)×(n−k)
în formă Hessenberg generalizată ireductibilă cărora li se pot aplica iteraţiile QZ în
varianta cu deplasare implicită. Cum, evident,
λ(H,T) = λ(H 11 ,T 11 )∪λ(H 22 ,T 22 ) (6.48)
rezultă că problema iniţială a calculului valorilor proprii generalizate se reduce la
rezolvarea a două probleme de aceeaşi natură, dar de dimensiuni mai mici. Analog
se procedează când matricea H are mai multe zerouri subdiagonale. Gestionarea
acestor zerouri şi aplicarea tehnicii iterative cu deplasare implicită numai părţilor
ireductibile va fi prezentată în cadrul formei finale a algoritmului QZ.
Încadrulacestuiparagrafvomconsideradatăperechea(H,T), cu T nesingulară,
în formă Hessenberg generalizată ireductibilă şi vom stabili algoritmul de calcul al
perechiisuccesoralperechiicurentedinşirulQZ.Vomtratadistinct situaţiadatelor
complexe şi a celor reale.
Reamintim că ideea de bază a iteraţiei QZ constă într-o implementare specifică
a iteraţiei QR cu deplasare implicită pentru matricea G = HT −1 şi anume în
14 Cazul real se tratează identic.