Calculul valorilor si vectorilor proprii

374 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
i.e. orice matrice este echivalentă cu o matrice cu structura din (5.15).
Demonstraţie.
Fie A = U H ΣV DVS a matricei A şi matricele nesingulare P,R ∈
∈ IC r×r astfel încât PΣ 1 R = I r , e.g. P = R = Σ −1 2
1 = diag(σ − 1 2
1 ,σ −1 2
2 ,...,σ −1 2
r ).
Atunci (5.15) este satisfăcută, de exemplu, de către matricele nesingulare S =
= diag(P,I m−r )U H şi T = Vdiag(R,I n−r ). ✸
Vom nota cu σ(A) mulţimea valorilor singulare ale matricei A. Rescriind (5.3)
în forma AV = UΣ sau A H U = VΣ T obţinem imediat relaţiile
Av j = σ j u j , A H u j = σ j v j , j = 1 : p, p = min(m,n), (5.16)
care indică o analogie cu definirea vectorilor proprii ale unei matrice pătrate şi
constituie o justificare pentru denumirea de vectori singulari dată coloanelor u j ,
respectiv v j , ale matricelor U şi V care definesc DVS. Mai mult, vectorii singulari
din (5.16) sunt efectiv vectori proprii ai unor matrice derivate din matricea A (vezi
teorema următoare). De remarcat şi faptul că, deşi echivalenţa (5.15) apare ca o
reducere completă dictată de necesităţile de evidenţiere a rangului unei matrice,
echivalenţa unitară (ortogonală) care defineşte DVS oferă, prin valorile şi vectorii
singulari, o informaţie mult mai bogată, utilă în numeroase evaluări cantitative.
Demonstraţia prezentată pentru teorema 5.1 nu are un caracter constructiv
întrucât calculul vectorului pentru care se realizează norma spectrală prezintă dificultăţi
majore. Alegerea acestei demonstraţii se datorează ordonării naturale a valorilor
singulare şi evidenţierii conexiunii strânse dintre valorile singulare şi norma
spectrală.
O modalitate de calcul al DVS este oferită de următorul rezultat.
Teorema 5.2 Valorile singulare nenule ale matricei A ∈ IC m×n sunt rădăcinile
pătrate (pozitive) ale valorilor proprii nenule ale matricelor hermitice pozitiv semidefinite
B = A H A ∈ IC n×n sau C = AA H ∈ IC m×m , (5.17)
i.e. dacă λ 1 ≥ λ 2 ≥ ··· ≥ λ r > 0, sunt cele r valori proprii nenule ale lui B (sau
C), atunci
σ i = √ λ i , i = 1 : r. (5.18)
Mai mult, vectorii singulari la stânga u i = Ue i , i = 1:m, sunt vectori proprii ai
matricei C, iar vectorii singulari (la dreapta) v j = Ve j , j = 1 : m, sunt vectori
proprii ai matricei B.
În cazul real, aserţiunile de mai sus sunt adevărate, cu menţiunea că matricele
B şi C sunt simetrice pozitiv semidefinite.
def
Demonstraţie. Din (5.3) obţinem
[ Σ
B = A H A = VΣ T U H UΣV H = VΣ T ΣV H 2
= V 1 0
0 0
[ Σ
C = AA H = UΣV H VΣ T U H = UΣΣ T U H 2
= U 1 0
0 0
]
V H ,
]
U H .
(5.19)