Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.2. PROBLEME DE CALCUL CONEXE 391
X ⊆ Y atunci şi numai atunci când coloanele matricei X aparţin lui Y. Numeric,
apartenenţa unui vector la un subspaţiu se poate constata verificând coincidenţa
vectorului respectiv cu proiecţia sa ortogonală pe acel subspaţiu. În consecinţă,
testul incluziunii X ⊆ Y se poate face cu următoarea schemă de calcul.
X ⊆ Y
1. Se calculează DVS Y = UΣV H a matricei Y şi fie r = rangY
2. Dacă ‖U 1 U H 1 X −X‖ = 0, unde U 1 = U(:,1:r), atunci X ⊆ Y
Egalitatea a două subspaţii X = ImX şi Y = ImY se testează e.g. aplicând de două
ori schema de mai sus pentru verificarea incluziunilor X ⊆ Y şi Y ⊆ X.
B. Suma a două subspaţii liniare. Subspaţiul sumă al subspaţiilor X =
= ImX, Y = ImY din IC n se defineşte prin
S def
= X +Y = {s ∈ IC n | s = x+y, x ∈ X, y ∈ Y} (5.63)
şi, este simplu de constatat, poate fi scris sub forma
S = ImS, unde S = [X Y ]. (5.64)
Înconsecinţă, dacăS = UΣV H esteDVSaluiS, atuncir = rangS estedimensiunea
spaţiului sumă, iar coloanele matricei U 1 = U(:,1:r) formează o bază ortogonală
a lui S. Evident, procedura poate fi extinsă pentru calculul sumei a mai multor
subspaţii liniare. Celelalte coloane ale matricei U şi coloanele matricei V definesc
subspaţiievidenţiateîntr-unparagrafanterior. Deexemplu, coloanelematriceiU 2 =
= U(:,r+1 : m) formează o bază ortogonală a subspaţiului T = S ⊥ = X ⊥ ∩Y ⊥ .
C. Intersecţia. Subspaţiul intersecţie
T def
= X ∩Y = {t ∈ IC n | t ∈ X & t ∈ Y } (5.65)
a subspaţiilor X = ImX, Y = ImY din IC n se poate calcula plecând de la ultima
observaţie din aliniatul precedent, i.e. utilizând relaţia
ceea ce presupune calculul a trei DVS conform schemei
T = X ∩Y = (X ⊥ +Y ⊥ ) ⊥ (5.66)
X ∩Y – v1
1. Se calculează o bază B X pentru X ⊥ = KerX H , folosind DVS a matricei X
2. Se calculează o bază B Y pentru Y ⊥ = KerY H , folosind DVS a matricei Y
3. Se calculează baza căutată a subspaţiului T = X ∩Y, utilizând DVS a
matricei [B X B Y ]
O procedură alternativă, mai economică, se bazează pe DVS S = [X Y ] = UΣV H
a matricei S din (5.64) din care rezultă
[X Y ]V(:,r+1 : n x +n y ) = XV 2X +YV 2Y = 0,