Calculul valorilor si vectorilor proprii

6.4. CALCULUL SUBSPAŢIILOR DE DEFLAŢIE 489
7. Se calculează rotaţia Q 12 astfel încât (Q H 12 y)(2) = 0
8. S ← diag(I k−1 ,Q H 12 ,I n−k−1)S
9. T ← diag(I k−1 ,Q H 12,I n−k−1 )T
10. Q ← Qdiag(I k−1 ,Q 12 ,I n−k−1 )
iar algoritmul corespunzător, bazat pe utilizarea procedurilor devenite familiare
pentru cititor, este
Algoritmul 6.10 (PG11c – Permutarea a două valori proprii generalizate
adiacente) (Date o pereche (S,T) ∈ IC n×n ×IC n×n în formă
Schur generalizată, matricele unitare Q,Z∈IC n×n şi întregul k∈1:n−1,
algoritmul suprascrie perechea de matrice (S,T) cu perechea (S ′ ,T ′ ) =
= (˜Q H S ˜Z, ˜Q H T ˜Z) care realizează permutarea valorilor proprii generalizate
definite de perechile (s kk ,t kk ), (s k+1,k+1 ,t k+1,k+1 ) şi actualizează
matricele de transformare Q şi Z.)
1. Dacă s kk t k+1,k+1 ≠ s k+1,k+1 t kk atunci
[ ]
sk+1,k+1 t
1. y = k,k+1 −s k,k+1 t k+1,k+1
s kk t k+1,k+1 −s k+1,k+1 t kk
2. [y,c,s] = Gc(y)
3. S(1 : k +1,k : k +1) = Gcd(S(1 : k +1,k : k +1),c,s)
4. T(1 : k +1,k : k +1) = Gcd(T(1 : k +1,k : k +1),c,s)
5. Z(:,k : k +1) = Gcd(Z(:,k : k +1),c,s)
6. Dacă |t k+1,k+1 | ≥ |s k+1,k+1 | atunci
1. y = S(k : k +1)
altfel
1. y = T(k : k +1,k)
7. [y,c,s] = Gc(y)
8. S(k : k +1,k +1 : n) = Gcs(c,s,S(k : k +1,k +1 : n))
9. s k+1,k = 0 % zeroul calculat este setat efectiv
10. T(k : k +1,k : n) = Gcs(c,s,T(k : k +1,k : n))
11. t k+1,k = 0 % zeroul calculat este setat efectiv
12. Q(:,k : k +1) = Gcd(Q(:,k : k +1,c,s))
Comentarii. Sintaxa de apel a algoritmului de mai sus va fi
[S,T,Q,Z] = PG11c(S,T,Q,Z,k).
Complexitatea unei permutări a două valori proprii generalizate vecine este 24n
fiind independentă de k.
✸
Din momentul în care dispunem de procedura de permutare a două valori proprii
învecinate, algoritmulpropriu-zisde ordonarea formei Schur generalizate(complexe)
se reduce, în esenţă, la un algoritm de sortare al unei mulţimi ordonate bazat
pe interschimbarea elementelor adiacente. Procedând ca în cazul formei Schur ordinare,
prezentăm o variantă care dispune valorile proprii ale unei forme Schur