Calculul valorilor si vectorilor proprii

4.8. ALGORITMUL QR SIMETRIC 319
mul de memorie este M ≈ 3n 2 /2 locaţii, necesar pentru memorarea elementelor
triunghiului inferior al matricei A şi a elementelor matricei Q 50 .
Algoritmul TQ este numeric stabil, i.e. matricea tridiagonală calculată într-o
aritmetică în virgulă mobilă este o matrice exact ortogonal asemenea cu o matrice
uşor perturbată A + E, unde matricea de perturbaţie E satisface condiţia
‖E‖ ≤ p(n)ε M ‖A‖, cu p(n) o funcţie cu creştere ”modestă” de dimensiunea n a
problemei.
✸
Observaţia 4.10 Spre deosebire de cazul nesimetric în care reducerea la forma
superior Hessenberg se putea face, suficient de performant, şi prin transformări
de asemănare neortogonale, aici astfel de transformări alterează simetria şi, prin
urmare, nu sunt recomandate.
✸
4.8.2 Faza iterativă a algoritmului QR simetric
Etapa iterativă a algoritmului QR simetric beneficiază de importante simplificări
calculatorii care se datorează, în principal, conservării simetriei matricei iniţiale la
transformări ortogonale de asemănare şi constau în:
– conservarea structurii tridiagonale la transformările implicate de iteraţiile
QR; în consecinţă toate transformările aferente şirului QR se pot desfăsura în
locaţiile de memorie ale vectorului f al elementelor diagonale şi ale vectorului g al
elementelor subdiagonale ale matricei tridiagonale curente (v. (4.279));
– valorile proprii ale unei matrice simetrice reale fiind reale nu sunt necesare
deplasări complexe şi, prin urmare, nu este necesară strategia paşilor dubli.
Vom folosi aceste observaţii în vederea elaborării unui algoritm QR simetric cât
mai performant.
A. Algoritmul QR simetric cu deplasare explicită
Presupunem matricea simetrică tridiagonală T ∈ IR n×n dată prin vectorii f şi g din
(4.279). Pentru claritateaexpunerii vom utiliza şi indexareaobişnuită a elementelor
matricei T urmând ca algoritmul să fie scris exclusiv în raport cu elementele vectorilor
f şi g.
Algoritmul QR simetric cu deplasare explicită construieşte un şir de matrice
tridiagonale, ortogonal asemenea
T = T 1 ,T 2 ,···,T k ,T k+1 ,··· (4.280)
pe baza relaţiei de recurenţă
{
T −µIn = QR
T ← T ′ = RQ+µI n
, (4.281)
unde T semnifică matricea curentă din şirul (4.280), iar indicele superior ′ marchează
matricea succesor. Deplasarea µ se poate alege ca în cazul nesimetric
µ = t nn = f n (4.282)
50 Asigurăm cititorul că unele licenţe minore, cum este utilizarea explicită a doi vectori (v şi
w) când sunt suficiente locaţiile de memorie ale unuia singur, servesc exclusiv clarităţii prezentării
algoritmului.