Calculul valorilor si vectorilor proprii

392 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
unde r este rangul lui S, cu n x , n y s-a notat numărul de coloane al matricelor X,
respectiv Y, V 2X = V(1:n x ,r+1 : n x +n y ) şi V 2Y = V(n x +1:n x +n y ,r+1 : n x +n y ).
Avem
T = X ∩Y = ImXV 2X = ImYV 2Y . (5.67)
Într-adevăr, e.g. dacă t ∈ ImXV 2X , atunci pentru un anumit vector u avem t =
= XV 2X u = −YV 2Y u, respectiv, cu notaţii evidente, t = Xw = Yz, i.e. t ∈ T .
Reciproc, dacă t ∈ T , atunci [ t ] = Xw = −Yz pentru anumiţi [ vectori ] w şi z, de
w V2X
unde Xw + Yz = 0, i.e. ∈ KerS = ImV
z
2 cu V 2 = . Prin urmare,
[ ]
V 2Y
w
= V
z 2 u pentru un anumit u, i.e. w = V 2X u şi z = V 2Y u, de unde rezultă
t ∈ ImXV 2X şi t ∈ ImYV 2Y . Deci, (5.67) este adevărată şi poate fi utilizată pentru
calculul unei baze ortogonale a subspaţiului intersecţie conform următoarei scheme
de calcul.
X ∩Y – v2
1. Se calculează DVS S = UΣV H a matricei S = [X Y ]
2. Se calculează DVS T = Ũ˜ΣṼ H a matricei T = XV 2X sau T = YV 2Y
Notăm cu ρ rangul matricei T. Baza ortogonală căutată a subspaţiului
intersecţie T este Ũ(:,1:ρ)
D. Aplicaţii liniare. Fie o aplicaţie liniară A : IC n → IC m . Pentru baze
fixate, aplicaţiei A i se asociază matricea A ∈ IC m×n astfel încât corespondenţei
x ↦→ y = A(x) i se asociază relaţia numerică y = Ax. Fie acum un subspaţiu liniar
X din IC n . Atunci mulţimea
Y = AX = {y ∈ IC m | y = Ax, x ∈ X } (5.68)
esteunsubspaţiuliniardinIC m numitsubspaţiul imaginealuiX prinaplicaţialiniară
definită de A. Problema este următoarea: date matricea A şi matricea X ∈ IC n×k
astfel încât X = ImX, se cere calculul unei baze ortogonalea subspaţiului Y = AX.
Este uşor de văzut că
Y = AImX = ImAX, (5.69)
de unde rezultă imediat faptul că o bază ortogonală a subspaţiului Y este dată
de coloanele matricei U 1 = U(:,1 : r y ) din DVS a matricei Y = AX = UΣV H ,
unde r y este rangul lui Y. Rezultate numerice mai bune se obţin [XIX] dacă mai
întâi se determină o bază ortogonală Ũ1 a lui X şi apoi se ţine seama de faptul că
Y = ImAŨ1. Schema de calcul este următoarea.
Y = AX
1. Se calculează DVS X = Ũ˜ΣṼ H . Fie r x rangul lui X
2. Se calculează B = AŨ(:,1:r x)
3. Se calculează DVS B = UΣV H . Dacă r y este rangul lui B, atunci baza
căutată a subspaţiului Y este dată de coloanele matricei U 1 = U(:,1:r y )