Calculul valorilor si vectorilor proprii

278 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Comentarii. Apelul algoritmului se poate face cu sintaxa
[A,s] = ECH(A,β).
Variabila logică final este utilizată pentru sesizarea apariţiei unui pas în care nu
are loc modificarea nici unei perechi linie-coloană şi a stabili astfel terminarea algoritmului.
În unele implementări profesionale ale algoritmului, pentru reducerea efortului
de calcul, în locul echilibrării normelor euclidiene ale liniilor şi coloanelor, se
efectuează o echilibrare a normelor ‖ · ‖ 1 ale acestora. Ţinând seama de faptul
că ‖z‖ ≤ ‖z‖ 1 ≤ √ n‖z‖, o echilibrare a normelor ‖ · ‖ 1 are drept consecinţă şi o
echilibrare, considerată corespunzătoare în aplicaţiile curente, a normelor euclidiene.
Într-un astfel de caz, instrucţiunea 4.2.1 se modifică adecvat.
Avându-se în vedere caracterul iterativ, complexitatea algoritmului nu poate
fi evaluată exact. Totuşi, întrucât majoritatea calculelor se fac practic cu numere
întregi,sepoateapreciacăpondereaeventualeiutilizăriaalgoritmuluideechilibrare
în calculul valorilor proprii este puţin semnificativă.
✸
Permutare şi echilibrare
Algoritmii de permutare şi echilibrare se utilizează de obicei în tandem, situaţie
în care apar detalii tehnice interesante. Dintre acestea, semnalăm posibilitatea
memorăriipermutărilorelementareşiaelementelordefinitoriialematriceidiagonale
D de echilibrare în cadrul aceluiaşi vector de întregi. Într-adevăr, după evidenţierea
valorilor proprii izolate, echilibrarea se efectuează numai asupra blocului diagonal
median A 22 = A(k : l,k : l), i.e.
⎡
⎤
A 11 A 12 D 22 A 13
A ← D −1 P T APD = ⎣ 0 D22 −1 A 22D 22 D22 −1 A 23
⎦. (4.175)
0 0 A 33
Prin urmare, pentru memorarea elementelor diagonale se poate utiliza porţiunea
din vectorul destinat memorării permutărilor neafectată de acestea. Tandemul permutare
echilibrare poate fi descris în felul următor:
Algoritmul 4.13 (ΠECH – Permutare şi echilibrare) (Date matricea
A ∈ IC n×n şi baza de numeraţie β, algoritmul calculează matricea
de permutare P şi matricea diagonală D 22 (prin puterile bazei β
care dau valorile elementelor diagonale ale lui D 22 ) astfel încât matricea
A obţinută în (4.175) să aibe submatricele A(1 : k − 1,1 : k − 1) şi
A(l+1 : n,l+1 : n) superior triunghiulare iar submatricea A(k : l,k : l)
echilibrată. Permutările sunt memorate în subvectorii d(1 : k − 1) şi
d(l + 1 : n) iar puterile bazei care definesc elementele diagonale ale
matricei D 22 în subvectorul d(k : l).)
1. [A,d,k,l] = Π(A)
2. Dacă l > k
1. [A(k : l,k : l),d(k : l)] = ECH(A(k : l,k : l),β)