Calculul valorilor si vectorilor proprii

292 CAPITOLUL 4. VALORI ŞI VECTORI PROPRII
Pentrumatricean×ndin (4.199)permutareablocuriloradiacenteS rr şiS r+1,r+1
ale formei Schur reale S ∈ IR n×n se obţine folosind transformarea ortogonală de
asemănare S ′ = ˜Q T S ˜Q definită de
˜Q = diag(I k−1 , ˆQ,I s ), (4.201)
undetransformareadefinitădematricea ˆQ, deordinul2,3sau4,asigurăpermutarea
blocurilor diagonale ale matricei
[ ]
Srr S ˜S = r,r+1
, (4.202)
0 S r+1,r+1
şi unde k este poziţia diagonală a elementului 11 al blocului diagonal S rr , iar s este
ordinul cumulat al blocurilor diagonale r+2 : p.
Vomimplementaschemadecalculdemaisus într-unalgoritmcarevatratatoate
cazurile dimensionale. Pentru aceasta vom utiliza rezultatele stabilite şi procedurile
elaborate în acest capitol.
Pentru o înţelegere mai lesnicioasă a algoritmului facem următoarele precizări:
– localizarea blocurilor diagonale ale matricei S care vor fi permutate se face
prin poziţia diagonală k a elementului 11 al primului bloc diagonal şi ordinele i şi j
ale celor două blocuri;
– elementele definitorii ale vectorilor de deplasare implicită exactă în vederea
permutării blocurilor diagonale ale submatricei (4.202) sunt deplasarea µ = s kk în
cazul în care i = 1 şi, respectiv, suma şi produsul deplasărilor exacte σ = µ 1 +µ 2 =
= s kk +s k+1,k+1 şi π = µ 1 µ 2 = s kk s k+1,k+1 −s k+1,k s k,k+1 în cazul în care i = 2;
după efectuarea unui pas dublu QR cu deplasare aleatoare, vectorii de deplasare
exactă, în cele două cazuri, vor fi
şi, respectiv,
w exact =
⎡
w exact =
⎡
⎣ s kk −µ
s k+1,k
0
⎣ s2 kk +s k,k+1s k+1,k −σs kk +π
s k+1,k (s kk +s k+1,k+1 −σ)
s k+1,k s k+2,k+1
vezi (4.140), (4.152);
– vom renunţa la apelarea algoritmului QR2 şi vom adapta ideile acestuia la
situaţia concretă existentă; pentru aprecierea ca neglijabile a elementelor subdiagonalevomutilizatoleranţatol,
uzualdeordinuldemărimealerorilordereprezentare;
– actualizarea blocurilor nediagonale de pe bloc-liniile şi bloc-coloanele afectate,
conform relaţiei (4.201), se va face utilizând elementele definitorii ale reflectorilor
implicaţi memorate în tablourile de lucru V şi b.
Cu convingerea că pentru cititorul interesat nu va fi greu să identifice ideile
menţionate mai sus, prezentăm acest algoritm.
Algoritmul 4.17 (Pr – Permutarea a doua blocuri diagonale adiacente)
(Date o matrice S ∈ IR n×n în formă Schur reală, matricea de
⎤
⎦
⎤
⎦,