Calculul valorilor si vectorilor proprii

5.6. APLICAŢIILE DVS 435
se obţine sistemul liniar diagonal
(C T C +λS T S)y = S T˜b+λS T ˜d (5.188)
care, considerând λ drept parametru, se rezolvă imediat. Admiţând a priori că
matricea sistemului (5.188) este nesingulară, obţinem expresia y = y(λ) definită de
⎧
˜bi
, i = 1 : n−r B
c i
⎪⎨
c
y i (λ) = i˜bi +λs i˜bi
c 2 , i = n−r B +1 : r A (5.189)
i +λs2 i
˜d i ⎪⎩ , i = r A +1 : n
s i
Multiplicatorul Lagrange λ = λ ∗ , care defineşte soluţia problemei de extrem cu
legături (5.185), se obţine prin rezolvarea ecuaţiei neliniare 33
η(λ) def
n−r
∑ B
= φ(y(λ))−γ 2 = ‖˜d 2 i +
i=1
r A
∑
i=n−r B+1
|c i
s i˜bi −c i˜di
c 2 i +λs2 i
| 2 +
p∑
i=n+1
|˜d i | 2 −γ 2 = 0,
(5.190)
obţinută prin impunerea condiţiei ca soluţia (5.189) să satisfacă relaţia de legătură.
Întrucât, pentru λ > 0, η(λ) este o funcţie descrescătoare (ca sumă de funcţii
descrescătoare),
η(0) =
n−r
∑ B
i=1
‖˜d 2 i +
r A
∑
i=n−r B+1
în virtutea condiţiei (5.184), şi
|s i˜bi −c i˜di | 2
+
c 2 i
n−r
lim η(λ) = ∑ B
|˜d i | 2 +
λ→∞
i=1
p∑
i=n+1
p∑
i=n+1
|˜d i | 2 −γ 2 > 0, (5.191)
|˜d i | 2 −γ 2 < 0, (5.192)
în virtutea condiţiei (5.178), ecuaţia (5.190) admite o soluţie reală pozitivă λ = λ ∗
unică. Calculul soluţiei λ ∗ se face prin metode iterative standard de rezolvare a
ecuaţiilor neliniare (cum este metoda Newton, vezi [XVII]). În sfârşit, în acest caz,
soluţia problemei CMMP (5.185) şi reziduul aferent sunt
y ∗ = y(λ ∗ ), r ∗ y = Cy∗ −˜b, (5.193)
iar soluţia problemei CMMP iniţiale se obţine utilizând relaţiile (5.176).
Pentru a scrie algoritmul de rezolvare al problemei CMMP cu restricţii pătratice
tip inegalitate vom admite că dispunem de o procedură de calcul a descompunerii
valorilor singulare generalizate (exercitţiul 5.22) care va fi apelată utilizând sintaxa
[c,s,U,V,W ] = DVSG(A,B).
33 Ecuaţiile de tipul (5.190) sunt cunoscute sub numele de ecuaţii seculare, denumire provenită
din astronomie.