Calculul valorilor si vectorilor proprii

370 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
Definiţia 5.1 Rangul r al matricei A este numărul maxim de coloane liniar independente
ale lui A, sau, echivalent,
r = rangA = dim(ImA). (5.1)
Se poate arăta (vezi cap. 1) că rangA = rangA T şi, astfel, orice matrice are
acelaşi număr maxim de linii şi coloane liniar independente. Deci, rangul unei
matrice A este dimensiunea maximă a unei submatrice nesingulare A(I,J), I =
= {i 1 ,i 2 ,...,i r }, J = {j 1 ,j 2 ,...,j r } a lui A.
În vederea elaborării unor proceduri fiabile de determinare numerică a rangului
suntem interesaţi în definirea transformărilor matriceale pentru care rangul este un
invariant. În acest sens introducem
Definiţia 5.2 Două matrice A,B ∈ IC m×n se numesc echivalente dacă există matricele
nesingulare S ∈ IC m×m şi T ∈ IC n×n astfel încât
B = SAT. (5.2)
Dacă matricele S şi T sunt unitare, atunci vom spune că A şi B sunt unitar echivalente.
În cazul real este suficient să ne rezumăm la matrice de transformare reale.
Într-o astfel de situaţie, dacă matricele S şi T sunt ortogonale vom spune că A şi
B sunt ortogonal echivalente.
În vederea determinării rangului unei matrice date vom urma o cale deja familiară
din capitolele precedente, respectiv, vom calcula o matrice de acelaşi rang cu matricea
dată la carerangul săpoată fi evaluat prin simplă inspecţie. Astfel de matrice
sunt matricele cu structură diagonală la care rangul este, evident, egal cu numărul
elementelor diagonale nenule. Din motive de fiabilitate numerică ne vom restrânge
la utilizarea transformărilor unitare, respectiv ortogonale în cazul real.
Avem următorul rezultat important.
Teorema 5.1 (Descompunerea valorilor singulare - DVS) Dacă A ∈ IC m×n ,
atunci există matricele unitare U ∈ IC m×m şi V ∈ IC n×n astfel încât
[
U H Σ1 0
AV = Σ =
0 0
]
, (5.3)
unde
Σ 1 = diag(σ 1 ,σ 2 ,...,σ r ) ∈ IR r×r , (5.4)
cu
σ 1 ≥ σ 2 ≥ ... ≥ σ r > 0. (5.5)
Expresia
A = UΣV H (5.6)
defineşte descompunerea valorilor singulare a matricei A. Numerele nenegative σ i ,
i = 1 : p, p = min(m,n) (σ i = 0, i = r+1 : p) se numesc valori singulare ale
matricei A. Coloanele matricei unitare U se numesc vectori singulari la stânga, iar
coloanele lui V se numesc vectori singulari (la dreapta) ai matricei A.
În cazul real se obţine acelaşi rezultat, cu matricele U şi V ortogonale, i.e. cu
vectorii singulari reali.