Calculul valorilor si vectorilor proprii

424 CAPITOLUL 5. DESCOMPUNEREA VALORILOR SINGULARE
(unde, evident, g ij = G(i,j)) care conduc imediat la exprimarea elementelor matricei
G în funcţie de multiplicatorii Lagrange λ i = λ(i)
g ij
def
= e ij = −λ ix j
2c 2 i d2 j
, i = 1 : m, j = 1 : n, g i,n+1
def
= r i =
λ i
2c 2 i d2 n+1
, i = 1 : m.
(5.133)
Impunând satisfacerealegăturilorobţinem valoareamultiplicatorilorLagrangecorespunzătoare
punctului de extrem
λ ∗ =
2(Ax−b)
x T ˜D −2 x+d −2 , ˜D = diag(d1 ,d 2 ,...,d n ). (5.134)
n+1
Pentru un vector x fixat, valoarea optimă G ∗ (x) = [E ∗ (x) r ∗ (x)] se obţine înlocuind
λ ∗ i în relaţiile (5.133). Obţinem
E ∗ (x) = − 1 2 C−2 λ ∗ x T ˜D−2 ,
r ∗ (x) = 1 2 C−2 λ ∗ d −2
n+1 . (5.135)
Utilizând, acum, egalitatea ‖yz T ‖ F = ‖y‖·‖z‖, adevărată pentru orice vectori y şi
z (demonstraţi!), obţinem valoarea minimă (pentru un x fixat) a criteriului (5.130)
f(x) def
= ‖CG ∗ (x)D‖ 2 F = ‖CE∗ (x)˜D‖ 2 F +‖Cr∗ (x)d n+1 ‖ 2 F =
= 1 4
∑ m
i=1 c−2
i (a T i x−b i) 2
∑ n
i=1 x2 i d−2 i +d −2 , (5.136)
n+1
unde a T i = A(i, :) este linia i a matricei A. Evident, punctul de minim x ∗ ∈ IR n al
funcţiei f este (pseudo)soluţia problemei CMMPT (5.129). Deşi această observaţie
nu oferă o alternativă viabilă de calcul, totuşi este utilă pentru interpretarea unor
rezultate.
✸
Observaţia 5.10 Observaţia 5.9 oferă posibilitatea unei interpretări geometrice a
problemei CMMPT. Fie subspaţiul liniar
{ [ ]
}
a
P x = a ∈ IR n , b ∈ IR, a
b
T x = b ⊂ IR n+1
definit pentru fiecare parametru vectorial x ∈ IR n . Utilizând aceeaşi procedură
clasică, de calcul a extremelor cu legături, se arată (exerciţiu pentru cititor) [ ] că
def
a
distanţa, în sensul normei ‖z‖ D = ‖Dz‖, dintre un punct arbitrar z = ∈
b
∈ IR n+1 şi cel mai apropiat punct din subspaţiul P x este
δ(z,P x ) =
|a T x−b|
√ ∑n
.
i=1 x2 i d−2 i +d −2
n+1
În consecinţă, conform observaţiei 5.9, soluţia x ∗ a problemei CMMPT (5.129)
determină acel subspaţiu P x ∗ pentru care suma ponderată a distanţelor (în sensul